[论文解读] Skew cyclic and skew $(α_1 + uα_2 + vα_3 + uvα_4)$-constacyclic codes over $F_q + uF_q + vF_q + uvF_q$

Habibul Islam, Om Prakash|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2017

Coding theory and cryptography被引用 5

一句话总结

本文研究了有限环 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q$ 上的偏斜循环码与偏斜 $(\alpha_1 + u\alpha_2 + v\alpha_3 + uv\alpha_4)$-常循环码，其中 $q = p^m$，$p$ 为奇素数。研究结果表明，偏斜循环码的 Gray 映射像为 $\mathbb{F}_q$ 上的偏斜拟循环码，索引为 4，且通过子环上的分解方法，给出了生成多项式与幂等生成元，证明了偏斜常循环码要么等价于常循环码，要么等价于拟扭循环码。

ABSTRACT

In this note, we study skew cyclic and skew constacyclic codes over the ring $\mathcal{R}=F_{q}+uF_{q}+vF_{q}+uvF_{q}$ where $q=p^{m},$ $p$ is an odd prime, $u^{2}=u,~v^{2}=v,~uv=vu$. We show that Gray images of a skew cyclic and skew $α$-constacyclic code of length $n$ are skew quasi-cyclic code of length $4n$ over $F_{q}$ of index 4. Also, it is shown that skew $α$-constacyclic codes are either equivalent to $α$-constacyclic codes or $α$-quasi-twisted codes over $\mathcal{R}$. Further, structural properties, specially, generating polynomials and idempotent generators for skew cyclic and skew constacyclic codes are determined by decomposition method.

研究动机与目标

• 研究非链环、非交换环 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q$ 上的偏斜循环码与偏斜常循环码，其中 $u^2 = u$，$v^2 = v$，$uv = vu$。
• 通过子环上的分解方法，确定这些码的结构性质，包括生成多项式与幂等生成元。
• 刻画偏斜常循环码与常循环码或拟扭码之间等价关系的特征。
• 分析偏斜循环码的 Gray 映射像，证明其为 $\mathbb{F}_q$ 上索引为 4 的偏斜拟循环码。

提出的方法

• 利用偏斜多项式环 $\mathcal{R}[x; \theta_t]$，其中 $\theta_t$ 为 Frobenius 自同态 $a \mapsto a^{p^t}$，通过 $ (ax^i) \ast (bx^j) = a \theta_t^i(b) x^{i+j} $ 定义非交换乘法。
• 通过将 $\mathcal{R}$ 分解为四个正交理想：$(1-u-v+uv)$、$(u-uv)$、$(v-uv)$ 与 $uv$，实现分解方法，将码结构简化为 $\mathbb{F}_q$ 上的子码。
• 采用 Gray 映射 $\phi: \mathcal{R}^n \to \mathbb{F}_q^{4n}$，将 $\mathcal{R}$ 上的码映射到 $\mathbb{F}_q$ 上的码，保持汉明权重，并支持对像码的分析。
• 通过在 $\mathcal{R}[x; \theta_t]$ 中因式分解 $x^n - \alpha$（其中 $\alpha = \alpha_1 + u\alpha_2 + v\alpha_3 + uv\alpha_4$）推导偏斜常循环码的生成多项式，并证明 $f(x)$ 是 $x^n - \alpha$ 的右因子。
• 通过从 $\mathbb{F}_q[x; \theta_t]/\langle x^n - \beta \rangle$ 提升幂等元（$\beta \in \{\alpha_1, \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_3, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4\}$）构造幂等生成元。
• 利用条件 $\gcd(n, k) = 1$，其中 $k = m/t$，以确保在商环 $\mathcal{R}[x; \theta_t]/\langle x^n - \alpha \rangle$ 中存在幂等生成元。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Frobenius 自同态 $\theta_t$ 下，环 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q$ 上的偏斜循环码具有何种结构？
• RQ2 $\mathcal{R}$ 上偏斜循环码的 Gray 映射像如何表现？其在 $\mathbb{F}_q$ 上属于何种码类型？
• RQ3 在何种条件下，$\mathcal{R}$ 上的偏斜 $\alpha$-常循环码等价于 $\alpha$-常循环码或 $\alpha$-拟扭码？
• RQ4 偏斜常循环码在 $\mathcal{R}$ 上的生成多项式与幂等生成元为何？如何通过分解方法构造？
• RQ5 偏斜常循环码在 $\mathcal{R}$ 上为自对偶的充要条件是什么？

主要发现

• 任意长度为 $n$ 的 $\mathcal{R}$ 上偏斜循环码的 Gray 映射像，是 $\mathbb{F}_q$ 上索引为 4、长度为 $4n$ 的偏斜拟循环码。
• 在 $\mathcal{R}$ 上的偏斜 $\alpha$-常循环码，其等价性取决于 $n$ 与 $k = m/t$ 的最大公约数：若 $\gcd(n, k) = 1$，则等价于 $\alpha$-常循环码；否则等价于 $\alpha$-拟扭码。
• 商环 $\mathcal{R}[x; \theta_t]/\langle x^n - \alpha \rangle$ 中的每个左理想均为主理想，由单个多项式生成，表明所有偏斜常循环码均为主生成。
• 当 $\gcd(n, k) = 1$ 时，偏斜常循环码存在幂等生成元，其形式为 $e(x) = (1-u-v+uv)e_1(x) + (u-uv)e_2(x) + (v-uv)e_3(x) + uve_4(x)$，其中 $e_i(x)$ 为 $\mathbb{F}_q$ 上的幂等生成元。
• 偏斜 $\alpha$-常循环码 $\mathcal{C} = \langle f(x) \rangle$ 的对偶由伴随多项式 $\widehat{h}(x)$ 生成，且 $|\mathcal{C}^\perp| = q^{\sum_{i=1}^4 \deg f_i(x)}$。
• 实例验证了自对偶偏斜常循环码的存在，例如：在 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_{49} + u\mathbb{F}_{49} + v\mathbb{F}_{49} + uv\mathbb{F}_{49}$ 上存在长度为 4 的自对偶码，其中 $\alpha = 1 - 2uv$；在 $\mathbb{F}_9 + u\mathbb{F}_9 + v\mathbb{F}_9 + uv\mathbb{F}_9$ 上存在长度为 7 的常循环码，其生成多项式 $f(x)$ 整除 $x^7 - (1 - 2v - 2uv)$。