[论文解读] Skew-Field of Trace-Preserving Endomorphisms, of Translation Group in Affine Plane

Orgest Zaka|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2020

Mathematics and Applications参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文从仿射平面中平移群的保迹自同态构造一个斜域。通过证明一个关键引理，该引理使得可通过特定的位似变换构造逆元，本文确立了保迹自同态在加法与复合运算下构成一个斜域，推广了仿射几何中的代数结构。

ABSTRACT

In this paper we will show how to constructed an Skew-Field with trace-preserving endomorphisms of the affine plane. Earlier in my paper, we doing a detailed description of endomorphisms algebra and trace-preserving endomorphisms algebra in an affine plane, and we have constructed an associative unitary ring for which trace-preserving endomorphisms. In this paper we formulate and prove an important Lemma, which enables us to construct a particular trace-preserving endomorphism, with the help of which we can construct the inverse trace-preserving endomorphisms of every trace-preserving endomorphism. At the end of this paper we have proven that the set of trace-preserving endomorphisms together with the actions of 'addition' and 'composition' (which is in the role of 'multiplication') forms a skew-field.

研究动机与目标

• 在仿射平面的平移群的保迹自同态集合上建立斜域结构。
• 通过构造一种特定的位似变换以诱导可逆性，解决保迹自同态的逆元问题。
• 证明保迹自同态代数在加法与复合运算下构成一个斜域。
• 通过聚焦于平移群自同态，扩展仿射平面与非交换域之间的代数-几何对应关系。

提出的方法

• 证明一个关键引理：对任意非零保迹自同态 α，存在一个位似 δ，使得对所有平移 σ，有 α(σ) = δ ∘ σ ∘ δ⁻¹。
• 定义映射 αδ(σ) = δ⁻¹ ∘ σ ∘ δ，该映射在自同态代数中作为 α 的双边逆。
• 利用保迹性质，确保平移轨道的像在自同态下保持不变。
• 应用平移群的群结构以及平移群在位似群中的正规性，以确保构造的相容性。
• 验证在非零自同态下对复合运算的封闭性及双边逆的存在性。
• 通过证明其为含幺元、结合律成立且无零因子的环，且每个非零元素均存在双边逆，从而确立该代数为斜域。

实验结果

研究问题

• RQ1 仿射平面上平移群的每个非零保迹自同态是否都能在相同代数结构内求逆？
• RQ2 是否存在一种规范方法，利用如位似等几何数据来构造逆自同态？
• RQ3 平移群的保迹自同态集合在加法与复合运算下是否构成一个斜域？
• RQ4 保迹性质如何约束自同态的结构，并促成逆元的构造？

主要发现

• 仿射平面上平移群的保迹自同态集合在加法与复合运算下构成一个斜域。
• 对每个非零保迹自同态 α，存在一个位似 δ，使得对所有平移 σ，有 α(σ) = δ ∘ σ ∘ δ⁻¹。
• α 的逆由映射 αδ(σ) = δ⁻¹ ∘ σ ∘ δ 给出，该映射同样是保迹的，且满足 α ∘ αδ = αδ ∘ α = 1TrA。
• 该代数无零因子，因为两个非零自同态的复合绝不会为零。
• 单位元 1TrA 为恒等自同态，零元 0TrA 为将所有平移映射到单位元的平凡自同态。
• 该构造依赖于每个非零自同态关联的固定点位似的存在性，该位似唯一确定了逆元。