[论文解读] Skew Generalized Quasi-Cyclic Codes over Finite Fields

Jian Gao, Linzhi Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文通过扩展非交换斜多项式环理论，在有限域上引入了斜广义循环（GQC）码，利用斜多项式环上的中国剩余定理建立了其规范分解。研究推导出1-生成器斜GQC码的校验多项式、维数公式以及最小汉明距离的下界，并刻画了斜循环码及其对偶码的性质，从而实现了具有更优参数的新线性码的构造。

ABSTRACT

In this work, we study a class of generalized quasi-cyclic (GQC) codes called skew GQC codes. By the factorization theory of ideals, we give the Chinese Remainder Theorem over the skew polynomial ring, which leads to a canonical decomposition of skew GQC codes. We also focus on some characteristics of skew GQC codes in details. For a 1-generator skew GQC code, we define the parity-check polynomial, determine the dimension and give a lower bound on the minimum Hamming distance. The skew quasi-cyclic (QC) codes are also discussed briefly.

研究动机与目标

• 通过使用非交换斜多项式环，发展有限域上斜广义循环（GQC）码的结构理论。
• 在斜多项式环上建立中国剩余定理，以实现斜GQC码的规范分解。
• 通过定义校验多项式、计算维数并推导最小汉明距离的下界，刻画1-生成器斜GQC码。
• 将斜循环码（QC）作为斜GQC码的特例进行研究，并分析其对偶码。
• 探索斜GQC码在构造具有优于已有记录的最小距离的新线性码方面的潜力。

提出的方法

• 利用斜多项式环 $\mathbb{F}_q[x,\sigma]$ 中理想因子分解理论，推导出非交换环上的中国剩余定理。
• 将中国剩余定理应用于实现斜GQC码到斜循环码直和的规范分解。
• 将1-生成器斜GQC码的校验多项式定义为斜多项式环中的左因子，以保证码结构的保持。
• 通过生成多项式的最小左公倍（lclm）与自同构 $\sigma$ 的阶，计算1-生成器斜GQC码的维数。
• 利用适配于斜环设置的BCH型界，推导出最小汉明距离的下界。
• 通过证明其对偶码仍为同指数的斜QC码，分析斜QC码，并推广 $\rho$-生成码与自对偶结构的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将中国剩余定理推广至有限域上的斜多项式环，以实现斜GQC码的分解？
• RQ2 1-生成器斜GQC码的结构特性是什么，包括其校验多项式与维数？
• RQ3 能否利用斜多项式环的性质，为1-生成器斜GQC码建立最小汉明距离的下界？
• RQ4 斜QC码的对偶码如何表现？在何种条件下其对偶码也是 $\rho$-生成码？
• RQ5 在何种条件下斜GQC码是自对偶的？指数 $l$ 与生成元数量之间有何关系？

主要发现

• 通过斜多项式环 $\mathbb{F}_q[x,\sigma]$ 上的中国剩余定理，实现了斜GQC码的规范分解，从而支持其结构分析。
• 对于1-生成器斜GQC码，其维数由生成多项式的最小左公倍与自同构 $\sigma$ 的阶共同决定。
• 通过适配于斜环设置的BCH型界，推导出1-生成器斜GQC码的最小汉明距离的下界。
• 斜QC码的对偶码也是同指数的斜QC码，且 $\rho$-生成斜QC码的对偶码为 $(l - \mathcal{K}')$-生成码，其中 $\mathcal{K}'$ 为各分量的最小维数。
• 1-生成器斜QC码具有1-生成器对偶码，当且仅当 $l = 2$ 且每个分量维数为1。
• 结果的关键依赖于 $x^m - 1$ 为中心元素；论文将模块斜GQC码（此时该条件不成立）识别为未来工作的开放问题。