[论文解读] Skew Hadamard difference sets from cyclotomic strongly regular graphs

Koji Momihara|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过利用有限域中的分圆强正则图，在初等阿贝尔群中构造了新的无穷多组斜 Hadamard 差集。通过涉及高斯和与分圆类的特征和计算，作者推导出特定分圆类并集构成斜 Hadamard 差集的条件，推广了先前的构造方法，并通过自同构群分析为这些差集与 Paley 差集的非等价性提供了证据。

ABSTRACT

We find new constructions of infinite families of skew Hadamard difference sets in elementary abelian groups under the assumption of the existence of cyclotomic strongly regular graphs. Our construction is based on choosing cyclotomic classes in finite fields.

研究动机与目标

• 通过有限域中的分圆类，将已知的斜 Hadamard 差集构造方法扩展至 Paley 构造之外。
• 研究分圆强正则图的存在性与斜 Hadamard 差集形成之间的关联。
• 在假设分圆强正则图存在的前提下，为初等阿贝尔群中提供新的无穷多组斜 Hadamard 差集。
• 确定分圆类并集形成斜 Hadamard 或 Paley 型部分差集的条件。
• 提供计算证据，表明所构造的差集与经典的 Paley 差集非等价。

提出的方法

• 利用有限域 $ \bbF_q $ 中的分圆类 $ C_i^{(k,q)} $，其中 $ q = p^f $，且 $ k \neq 1 $ 整除 $ q-1 $。
• 应用涉及指数为 2 或 4 的高斯和的特征和技巧，分析分圆类并集的结构。
• 将差集构造为 $ D = \bigcup_{i \text{ in } I} C_i^{(k,q)} $，其中 $ I $ 是 $ (\bbZ/k\bbZ)^* $ 中子群 $ \form{p} $ 的陪集的并集。
• 采用条件 $ p^t \not\to -1 \bmod k $，但 $ p $ 在 $ (\bbZ/k\bbZ)^* $ 中的指标为 2 或 4，以确保强正则性和差集性质。
• 利用由所得对称设计导出的自同构群大小，与 Paley 差集进行比较，推断非等价性。
• 应用定理 3.4，基于 $ (\bbZ/k\bbZ)^* / \form{p} $ 的结构，将孤立的实例推广为无穷多组。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，有限域 $ \bbF_q $ 中分圆类的并集构成斜 Hadamard 差集？
• RQ2 分圆强正则图的存在是否能推出同一群中斜 Hadamard 差集的存在？
• RQ3 本文构造的新斜 Hadamard 差集是否与经典的 Paley 差集非等价？
• RQ4 高斯和与相对高斯和在刻画此类差集参数方面起什么作用？
• RQ5 能否利用由差集导出的对称设计的自同构群来检测其与 Paley 型设计的非等价性？

主要发现

• 本文在假设分圆强正则图存在的前提下，通过分圆类的并集，在初等阿贝尔群中构造了无穷多组斜 Hadamard 差集。
• 对于 $ (p, f, p_1) = (3,5,11), (5,9,19), (17,33,67), (3,53,107), (41,81,163), (5,249,499) $，集合 $ D = \bigcup_{i \notin \text{odd cosets}} C_i^{(2p_1, p^f)} $ 构成斜 Hadamard 差集。
• 在 $ (p,f,p_1) = (7,3,19) $ 的情况下，新差集 $ D $ 导出的设计的自同构群大小为 $ 3^4 \times 7^3 $，与 Paley 情况下的 $ 3^3 \times 7^3 \times 19 $ 不同，证明了非等价性。
• 在 $ (p,f,p_1) = (3,5,11) $ 的情况下，$ \text{Aut}(Dev(D)) = 3^5 \times 5 \times 11 $，而 $ \text{Aut}(Dev(P)) = 3^5 \times 5 \times 11^2 $，确认了与 Paley 差集的非等价性。
• 参数为 $ (p_1, p, f) = (31,5,3) $ 和 $ (307,17,3) $ 的 Paley 型强正则图与经典 Paley 图不构同，表明存在新的强正则图族。
• 该构造通过定理 3.4 将表 1 中的孤立实例推广为无穷多组，特别是当 $ p_1 = A^2 + 4 $ 且 $ A \not\to 0 \bmod 4 $ 时，得到三组新的无穷多组。