[论文解读] Skew-Hadamard matrices of orders 188 and 388 exist

Dragomir Ž. Djoković|ArXiv.org|Apr 4, 2007

graph theory and CDMA systems参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文利用循环群 Z_47 和 Z_97 中的差集族，首次构造出阶数为 188 和 388 的已知斜 Hadamard 矩阵。通过将 Goethals–Seidel 阵列应用于这些族，作者证明了此类矩阵的存在性，从而解决了斜 Hadamard 矩阵未知阶数列表中长期悬而未决的案例。

ABSTRACT

We construct several difference families on cyclic groups of orders 47 and 97, and use them to construct skew-Hadamard matrices of orders 188 and 388. Such difference families and matrices are constructed here for the first time. The matrices are constructed by using the Goethals-Seidel array.

研究动机与目标

• 解决阶数为 188 和 388 的斜 Hadamard 矩阵的存在性问题，此前该问题尚不明确。
• 通过构造新实例，扩展已知斜 Hadamard 矩阵存在的阶数列表。
• 证明在阶数为 47 和 97 的循环群中，差集族可经 Goethals–Seidel 阵列生成斜 Hadamard 矩阵。
• 提供 Z_47 和 Z_97 中显式构造的补充差集，其生成阶数为 4n 的斜 Hadamard 矩阵，其中 n=47 和 n=97。

提出的方法

• 作者在循环群 Z_47 中构造了四组不同的差集族：两组 3-(47;30,22,22;39) 族和两组 3-(47;21,19,19;24) 族。
• 在 Z_97 中，通过一个阶为 3 的子群的陪集，构造了两组 4-(97;48,39,48,51;89) 差集族。
• 从每个差集族中集合的特征向量形成循环矩阵。
• 将 Goethals–Seidel 阵列应用于这些循环矩阵，并使用斜类型集合以确保所得矩阵为斜 Hadamard 矩阵。
• 该构造依赖于通过计算验证差集族参数满足补充差集条件。
• 通过确保其中一个基集为斜类型（即与自身负集不相交），确认了斜 Hadamard 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 阶数为 188 的斜 Hadamard 矩阵是否存在？若存在，能否显式构造？
• RQ2 能否使用 Z_97 中的差集族构造阶数为 388 的斜 Hadamard 矩阵？
• RQ3 Z_47 和 Z_97 中是否存在新的补充差集，可产生此前未知的斜 Hadamard 矩阵？
• RQ4 Goethals–Seidel 阵列能否有效结合新发现的差集族以生成斜 Hadamard 矩阵？
• RQ5 所构造的差集族是否与先前已知的族非等价，且是否产生不同的斜 Hadamard 矩阵？

主要发现

• 本文首次显式构造出阶数为 188 的斜 Hadamard 矩阵。
• 本文首次显式构造出阶数为 388 的斜 Hadamard 矩阵。
• 在 Z_47 中构造出四组不同的差集族：两组 3-(47;30,22,22;39) 族和两组 3-(47;21,19,19;24) 族。
• 在 Z_97 中通过陪集并集构造出两组不同的 4-(97;48,39,48,51;89) 差集族。
• 通过 Goethals–Seidel 阵列和一个基集的斜类型性质，确认了阶数为 188 和 388 的斜 Hadamard 矩阵。
• 该构造将 n=47 和 n=97 从斜 Hadamard 矩阵未知阶数列表中移除，使小于 300 的奇数 n 的未知阶数列表减少至 42 个。