[论文解读] Skew monoidales, skew warpings and quantum categories

Stephen Lack, Ross Street|arXiv (Cornell University)|May 1, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 30

一句话总结

本文在有张量结构的双范畴中引入了斜单对象（skew monoidales），作为斜张量范畴的推广，表明在辫形有张量结构的范畴 𝒱 中的量子范畴，正是 Comod(𝒱) 中由基余单对象的余单位导出单位的斜单对象。其核心贡献在于：量子群概形对应于具有可逆结合约束的斜单对象，从而通过高阶范畴结构统一了双代数胚与量子范畴。

ABSTRACT

Kornel Szlachányi recently used the term skew-monoidal category for a particular laxified version of monoidal category. He showed that bialgebroids $H$ with base ring $R$ could be characterized in terms of skew-monoidal structures on the category of one-sided $R$-modules for which the lax unit was $R$ itself. We define skew monoidales (or skew pseudo-monoids) in any monoidal bicategory $\mathscr M$. These are skew-monoidal categories when $\mathscr M$ is $\mathrm{Cat}$. Our main results are presented at the level of monoidal bicategories. However, a consequence is that quantum categories in the sense of Day-Street with base comonoid $C$ in a suitably complete braided monoidal category $\mathscr V$ are precisely skew monoidales in $\mathrm{Comod} (\mathscr V)$ with unit coming from the counit of $C$. Quantum groupoids are those skew monoidales with invertible associativity constraint. In fact, we provide some very general results connecting opmonoidal monads and skew monoidales. We use a lax version of the concept of warping defined recently by Booker-Street to modify monoidal structures.

研究动机与目标

• 通过定义斜单对象（skew pseudo-monoids）将斜张量范畴推广至有张量结构的双范畴的设定。
• 通过 Comod(𝒱) 中的斜单对象，建立双代数胚、量子范畴与量子群概形之间的范畴框架。
• 证明在辫形有张量结构的范畴 𝒱 中的量子范畴，等价于 Comod(𝒱) 中由余单对象余单位导出单位的斜单对象。
• 将量子群概形表征为具有可逆结合约束的斜单对象。
• 通过使用张量结构的松散缠绕（lax warping）的一般构造，建立余模态单子与斜单对象之间的联系。

提出的方法

• 在任意有张量结构的双范畴 𝒮 中定义斜单对象，推广斜张量范畴（其中 𝒮 = Cat）。
• 使用 [3] 中的缠绕构造的松散版本，修改张量结构，从而实现斜单对象的推导。
• 从左斜单对象 (C, M, ε*, α, λ, ρ) 构造 Comod(𝒱) 中 C^e 上的余单子 A，利用由共作用 r 产生的伴随关系 r_∗ ⊣ r^∗。
• 通过 μ: P → M 和 η: C → M 定义 A 上的张量结构，其中 P = M₂ ⊗_C M₂，且 μ 由 α 和余单位 ε 复合而成。
• 通过在余模范畴中使用绞接（whiskering）与同构，从左融合 2-胞状映射 v^ℓ 推导出斜单对象的结合约束 α: M·(M⊗1_C) ⇒ M·(1_C⊗M)。
• 利用余单位 ε 与余模范畴的结构，建立单位约束 λ: M₁ ⇒ 1_C 和 ρ: 1_C ⇒ M₂，确保与斜单对象公理的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过斜单对象的概念，将斜张量范畴推广至有张量结构的双范畴？
• RQ2 在辫形有张量结构的范畴 𝒱 中，量子范畴的精确范畴表征是什么？即其与 Comod(𝒱) 中斜单对象的关系如何？
• RQ3 量子群概形与具有可逆结合约束的斜单对象之间有何关系？
• RQ4 在 R-模范畴上的余模态单子如何对应于 Comod(𝒱) 中的斜单对象？
• RQ5 [3] 中的松散缠绕构造如何促进从现有张量结构推导出斜单对象？

主要发现

• 在足够完备的辫形有张量结构范畴 𝒱 中，量子范畴正是 Comod(𝒱) 中由基余单对象 C 的余单位导出单位的斜单对象。
• 量子群概形（依 [6] 中的定义）被识别为 Comod(𝒱) 中具有可逆结合约束 α 的斜单对象。
• 从左斜单对象 (C, M, ε*, α, λ, ρ) 构造出 Comod(𝒱) 中 C^e 上的余单子 A，其中 A = M 作为 𝒱 中的对象。
• A 上的张量结构通过 μ: P → M 和 η: C → M 定义，其中 P = M₂ ⊗_C M₂，且 μ 是 α 与余单位 ε 的复合。
• 斜单对象的结合约束 α 通过在余模范畴中使用绞接与同构，从左融合 2-胞状映射 v^ℓ 推导而出。
• 单位约束 λ 与 ρ 在 Comod(𝒱) 中实现为态射，其中 λ: M₁ → 1_C 与 ρ: 1_C → M₂，且 M₁ 与 M₂ 是由 ε* 与 M 构成的复合。