[论文解读] Skew-Polynomial Rings and Skew-Cyclic Codes

Heide Gluesing-Luerssen|ArXiv.org|Feb 9, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文全面综述了有限域上的斜多项式环与斜循环码，重点聚焦于自同构型斜多项式环。通过斜循环矩阵建立了斜循环码的代数基础，并提出了两种不同构造的斜-BCH码，其设计最小距离明确，一种基于域元素的连续幂，另一种基于弗罗贝尼乌斯幂，两者均将经典BCH码原理推广至非交换设置，并给出了最小距离的理论界。

ABSTRACT

This is a survey on the theory of skew-cyclic codes based on skew-polynomial rings of automorphism type. Skew-polynomial rings have been introduced and discussed by Ore (1933). Evaluation of skew polynomials and sets of (right) roots were first considered by Lam (1986) and studied in great detail by Lam and Leroy thereafter. After a detailed presentation of the most relevant properties of skew polynomials, we survey the algebraic theory of skew-cyclic codes as introduced by Boucher and Ulmer (2007) and studied by many authors thereafter. A crucial role will be played by skew-circulant matrices. Finally, skew-cyclic codes with designed minimum distance are discussed, and we report on two different kinds of skew-BCH codes, which were designed in 2014 and later.

研究动机与目标

• 为有限域上自同构型斜多项式环提供系统性介绍，这是编码理论中的关键基础。
• 利用非交换环中的斜循环矩阵与理想理论，建立$(\sigma,f)$-斜循环码的代数框架。
• 提出两种不同的斜-BCH码构造方法，确保最小距离，将经典BCH码推广至斜多项式设置。
• 阐明斜常循环码的对偶性质，表明$(\sigma,x^n-a)$-斜常循环码的对偶为$(\sigma,x^n-a^{-1})$-斜常循环码。
• 建立斜求值码达到最大距离可分性（MDS）的条件，结合斜范德蒙矩阵与最小多项式次数条件。

提出的方法

• 采用由域自同构$\sigma$定义的斜多项式环$\mathbb{F}[x;\sigma]$，其非交换乘法满足$xa = \sigma(a)x$（$a \in \mathbb{F}$）。
• 应用斜循环矩阵表示并分析斜循环码的行空间，推广经典循环码中使用的循环矩阵。
• 利用线性因子$x - \beta^{q^t}$的左最小公倍（lclm）构造斜-BCH码的生成多项式。
• 通过斜范德蒙矩阵分析斜多项式的秩与根结构，将其与一组元素的最小多项式关联。
• 应用$q$-分圆空间与线性化多项式概念，将斜多项式根与秩距离码理论联系起来。
• 通过证明在$\sigma$-对偶运算下，生成多项式的倒数即为对偶码的生成多项式，推导出对偶性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在根重数与因式分解方面，自同构型乘法的斜多项式环与交换多项式环有何不同？
• RQ2 斜循环码如何推广经典循环码？其更广泛的码族背后存在何种代数结构？
• RQ3 如何利用非交换根结构构造具有设计最小距离的斜-BCH码？
• RQ4 在何种条件下斜求值码为MDS？其与经典广义里德-索罗蒙码有何区别？
• RQ5 斜常循环码的对偶性在$\sigma$-对偶运算下如何表现？模数$x^n - a$在其中起何作用？

主要发现

• 构造了两类不同的斜-BCH码：一类根为域元素的连续幂，另一类根为连续弗罗贝尼乌斯幂，两者均推广了经典BCH码原理。
• 由$g' = \text{lclm}(x - \beta^{q^t} \mid t \in \overline{S})$生成的码，当$\overline{S}$为若干共轭类的并集时，其最小距离至少为$\delta + \nu$；在$\mathbb{F}_{2^6}[x;\sigma]$中显式构造出一个$[12,6,6]$码，长度为12，实际最小距离为6。
• 斜求值码$\mathcal{E}_{\sigma,\alpha_1,\ldots,\alpha_n}$达到维度$k$与最小距离$n-k+1$（即MDS）当且仅当其斜范德蒙矩阵满秩，等价于$\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$的$\sigma$-最小多项式次数为$n$。
• $(\sigma,x^n-a)$-斜常循环码的对偶为$(\sigma,x^n-a^{-1})$-斜常循环码，且对偶码的生成多项式为原码生成多项式的$\sigma$-对偶。
• 与经典广义里德-索罗蒙码不同，斜求值码$\mathcal{E}_{\sigma,1,\alpha,\ldots,\alpha^{n-1}}$对任意模数$f$均不一定是斜循环码，凸显了非交换性带来的关键差异。
• 尚未对两类斜-BCH码进行一般性比较，表明未来研究存在开放方向。