[论文解读] Skew products and crossed products by coactions

S. Kaliszewski, John Quigg+1 more|ArXiv.org|Jan 22, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 37

一句话总结

本文建立了斜积图 $E \times_c G$ 的 C*-代数与图 C*-代数 $C^*(E)$ 沿离散群 $G$ 的共作用的交叉积之间的对偶同构，证明了 $C^*(E \times_c G) \cong C^*(E) \times_\delta G$。利用 Katayama 的对偶定理以及对 Kumjian-Pask 定理的一个新初等证明，进一步证明了 $C^*(E \times_c G)$ 上的典范作用 $G$ 是可约的，从而得到稳定同构 $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G \cong C^*(E) \otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$。结果在满足可约性或第二可数性的 $r$-离散群胚下亦成立。

ABSTRACT

Given a labeling c of the edges of a directed graph E by elements of a discrete group G, one can form a skew-product graph E cross_c G. We show, using the universal properties of the various constructions involved, that there is a coaction delta of G on C*(E) such that C*(E cross_c G) is isomorphic to the crossed product C*(E) cross_delta G. This isomorphism is equivariant for the dual action deltahat and a natural action gamma of G on C*(E cross_c G); following results of Kumjian and Pask, we show that C*(E cross_c G) cross_gamma G is isomorphic to C*(E cross_c G) cross_{gamma,r} G, which in turn is isomorphic to C*(E) tensor K(l^2(G)), and it turns out that the action gamma is always amenable. We also obtain corresponding results for r-discrete groupoids Q and continuous homomorphisms c: Q -> G, provided Q is amenable. Some of these hold under a more general technical condition which obtains whenever Q is amenable or second-countable.

研究动机与目标

• 建立斜积图 $E \times_c G$ 的 C*-代数与 $C^*(E)$ 沿 $G$ 的共作用的交叉积之间的对偶同构。
• 仅利用图 C*-代数的普遍性质，避免使用群胚模型，提供 Kumjian-Pask 定理的初等证明。
• 在满足可约性或第二可数性的条件下，将图的对偶性与可约性结果推广至具有连续同态 $c: Q \to G$ 的 $r$-离散群胚 $Q$。
• 解决一个技术性问题：当 $Q$ 可约或第二可数时，$C^*(c^{-1}(e))$ 是否在 $C^*(Q)$ 中有忠实嵌入？
• 证明 $C^*(E \times_c G)$ 上的典范作用 $\gamma$ 是可约的，从而推出全交叉积与约化交叉积重合。

提出的方法

• 利用边的标签 $c$ 将 $G$ 的元素映射到 $C^*(E)$ 上，通过图 C*-代数的普遍性质构造 $G$ 上的共作用 $\delta$。
• 应用 Katayama 的对偶定理，证明 $C^*(E \times_c G) \cong C^*(E) \times_\delta G$，并借助约化交叉积推导出 $C^*(E \times_c G) \times_{\hat{\delta}} G \cong C^*(E) \otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$。
• 基于普遍性质，使用对 Kumjian-Pask 定理的新初等证明（避免群胚模型），证明 $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G$ 的正则表示是忠实的。
• 在 $C_c(Q)$ 上定义一个预希尔伯特 $C^*_c(N)$-模结构，其中 $N = c^{-1}(e)$，并通过共轭可展算子构造 $C^*$-半范数，以实现交叉积。
• 通过证明正则表示是忠实的，利用全交叉积与约化交叉积的理论，证明 $C^*(E \times_c G)$ 上的 $G$-作用 $\gamma$ 是可约的。
• 通过证明 $C^*(Q \times_c G) \cong C^*(Q) \times_\delta G$（其中 $\delta$ 为共作用），将结果推广至 $r$-离散群胚 $Q$，并建立在可约性或第二可数性条件下 $C^*(c^{-1}(e)) \hookrightarrow C^*(Q)$ 的忠实嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅利用图 C*-代数的普遍性质，而不依赖群胚模型，建立同构 $C^*(E \times_c G) \cong C^*(E) \times_\delta G$？
• RQ2 在 $C^*(E \times_c G)$ 上的典范作用 $\gamma$ 是否可约？这是否意味着全交叉积与约化交叉积重合？
• RQ3 对于满足可约性或第二可数性的 $r$-离散群胚 $Q$，子群胚 $c^{-1}(e)$ 的 $C^*$-代数是否在 $C^*(Q)$ 中有忠实嵌入？
• RQ4 能否通过共作用理论与 Katayama 的对偶定理，恢复对偶同构 $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G \cong C^*(E) \otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$？
• RQ5 在共作用与对偶性的背景下，约化交叉积 $C^*(E \times_c G) \times_{\gamma,r} G$ 与全交叉积 $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G$ 之间有何关系？

主要发现

• 通过普遍性质，斜积图 $E \times_c G$ 的 C*-代数与 $C^*(E)$ 沿 $G$ 的共作用 $\delta$ 的交叉积同构，即 $C^*(E \times_c G) \cong C^*(E) \times_\delta G$。
• 在 $C^*(E) \times_\delta G$ 上的对偶作用 $\hat{\delta}$ 同构于 $C^*(E \times_c G)$ 上的作用 $\gamma$，从而建立了等变性。
• $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G$ 的正则表示是忠实的，证明了作用 $\gamma$ 是可约的。
• 稳定同构 $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G \cong C^*(E) \otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$ 成立，通过对偶性恢复了 Kumjian-Pask 的结果。
• 对于具有连续同态 $c: Q \to G$ 的 $r$-离散群胚 $Q$，代数 $C^*(Q \times_c G)$ 沿共作用 $\delta$ 同构于 $C^*(Q) \times_\delta G$，推广了图的情形。
• 当 $Q$ 可约或第二可数时，嵌入 $C^*(c^{-1}(e)) \hookrightarrow C^*(Q)$ 是忠实的，解决了群胚情形下的一个关键技术问题。