[论文解读] Skewness Premium with Lévy Processes

José Fajardo, Ernesto Mordecki|ArXiv.org|Oct 24, 2008

Insurance and Financial Risk Management被引用 8

一句话总结

本文将Bates（1991）的偏度溢价（SK）x%规则推广至无需对称性的广义Lévy过程，推导了在风险中性测度下Lévy三元组满足SK为正或负的充分条件。研究证明：当β > -1/2时SK > x，当β < -1/2时SK < x，为使用Lévy驱动模型建模资产收益偏度提供了诊断工具。

ABSTRACT

We study the skewness premium (SK) introduced by Bates (1991) in a general context using Lévy Processes. Under a symmetry condition Fajardo and Mordecki (2006) obtain that SK is given by the Bate's $x%$ rule. In this paper we study SK under the absence of that symmetry condition. More exactly, we derive sufficient conditions for SK to be positive, in terms of the characteristic triplet of the Lévy Process under the risk neutral measure.

研究动机与目标

• 将Bates的x%规则推广至对称模型之外的广义Lévy过程，以适用于偏度溢价（SK）的分析。
• 在风险中性测度下，识别Lévy三元组（a, σ², Π）使得SK为正或负的充分条件。
• 在Fajardo和Mordecki（2006b）先前要求对称性的条件下，分析无对称性时偏度溢价的符号。
• 为选择与期权价格中观察到的偏度相匹配的Lévy模型，提供一个诊断框架。
• 研究期权价格关于Lévy测度中对称性参数β的单调性。

提出的方法

• 利用Lévy-Khintchine表示法，刻画在风险中性测度下Lévy过程的特征三元组（a, σ², Π）。
• 应用Fajardo和Mordecki（2006b）的看跌-看涨平价框架，推导Lévy动态下看涨与看跌期权价格之间的关系。
• 引入Lévy测度的参数形式Π(dy) = |y|^{β-1} e^{-λ|y|} dy（y ≠ 0），其中β ∈ (-1, 1)，以建模非对称性。
• 通过利用凸性保持性质和等价鞅测度的排序关系，对对称性参数β应用单调性论证。
• 应用Gushin和Mordecki（2002）以及Bergenthüm（2007）的结果，建立期权价格关于β单调性的充分条件。
• 推导关键不等式：当β > -1/2时，SK(x) > x；当β < -1/2时，SK(x) < x，其中x > 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏对称性时，Lévy三元组满足何种条件可使偏度溢价（SK）为正或负？
• RQ2 在一般Lévy过程中，偏度溢价的行为如何，特别是与Lévy测度中对称性参数β的关系如何？
• RQ3 Bates（1991）的x%规则能否推广至非对称Lévy过程？在何种条件下成立？
• RQ4 Lévy测度满足何种充分条件，可使期权价格关于对称性参数β保持单调？
• RQ5 在Lévy驱动模型中，偏度溢价在多大程度上反映了底层分布的偏度？

主要发现

• 对于Lévy测度形式为Π(dy) = |y|^{β-1} e^{-λ|y|} dy的Lévy过程，当β > -1/2时SK(x) > x，当β < -1/2时SK(x) < x。
• 偏度溢价的超额部分（SK(x) - x）的符号仅由β相对于-1/2的取值决定，提供了清晰的诊断规则。
• 研究结果将Bates的x%规则推广至一大类非对称Lévy过程，包括非Poisson跳跃的模型。
• 基于S&P500期权的实证证据表明，对称的x%规则并不成立，这凸显了非对称模型的必要性。
• 推导出期权价格关于对称性参数β单调性的充分条件，其基础为凸性保持性质和测度排序。
• 研究结果为选择与期权价格中观察到的偏度相匹配的Lévy模型提供了理论基础，尤其适用于具有负偏度或正偏度的市场。