[论文解读] Skolemization for Weighted First-Order Model Counting

Guy Van den Broeck, Wannes Meert+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 38被引用 70

一句话总结

本文提出了一种用于加权一阶模型计数（WFOMC）的新型Skolem化程序，可在不改变加权模型计数的前提下消除存在量词，从而实现一阶概率模型中的高效提升推理。该方法通过将理论转换为无函数的Skolem范式，同时保持模型计数的等价性，从而维持域提升的复杂度。

ABSTRACT

First-order model counting emerged recently as a novel reasoning task, at the core of efficient algorithms for probabilistic logics. We present a Skolemization algorithm for model counting problems that eliminates existential quantifiers from a first-order logic theory without changing its weighted model count. For certain subsets of first-order logic, lifted model counters were shown to run in time polynomial in the number of objects in the domain of discourse, where propositional model counters require exponential time. However, these guarantees apply only to Skolem normal form theories (i.e., no existential quantifiers) as the presence of existential quantifiers reduces lifted model counters to propositional ones. Since textbook Skolemization is not sound for model counting, these restrictions precluded efficient model counting for directed models, such as probabilistic logic programs, which rely on existential quantification. Our Skolemization procedure extends the applicability of first-order model counters to these representations. Moreover, it simplifies the design of lifted model counting algorithms.

研究动机与目标

• 解决现有提升推理算法要求Skolem范式（无存在量词）的局限性，该要求排除了许多实际的一阶概率模型。
• 为包含存在量词的理论（如概率逻辑程序和含量词的马尔可夫逻辑网络）提供高效、域提升的加权一阶模型计数方法。
• 提供一种与领域大小无关的模块化一阶Skolem化程序，确保WFOMC的正确性与可靠性。
• 通过消除对存在量词的特殊处理需求，简化未来WFOMC算法的设计。
• 将提升定理的适用范围扩展至超越Skolem范式的更广泛的一阶理论类别。

提出的方法

• 提出一种一阶Skolem化算法，用Skolem谓词和Tseitin风格编码替代存在量词，以在加权模型计数中保持逻辑等价性。
• 引入一种转换方法，将含存在量词的公式转化为无函数、Skolem范式的理论，同时保持加权模型计数不变。
• 采用模块化方法：当向输入和输出理论中添加新句子时，该转换仍保持有效性。
• 通过递归处理最内层量词，用Tseitin谓词和辅助子句替换它们，实现量词消除。
• 通过将新公式的数量及其大小限制为输入大小的多项式函数，确保时间复杂度为多项式时间。
• 定义权重映射，使得变换后所有模型的权重总和保持不变，特别是通过为Skolem谓词设置互补权重以维持平衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否以一种保留加权模型计数的方式消除一阶理论中的存在量词，从而实现提升推理？
• RQ2 能否设计一种适用于WFOMC的Skolem化程序，避免引入函数并保持域提升的复杂度？
• RQ3 如何确保在向理论中添加新句子时，该转换仍保持模块化与正确性？
• RQ4 该方法能否将现有提升定理的适用范围扩展至超越Skolem范式的理论？
• RQ5 所提出的方法是否能够在含存在量词的概率逻辑程序和马尔可夫逻辑网络中实现高效推理？

主要发现

• 所提出的Skolem化程序确保了原始理论的加权一阶模型计数在变换为Skolem范式后保持不变。
• 该转换具有模块化特性：向输入和输出理论中添加新句子后，其加权模型计数的等价性依然成立。
• 该算法的时间复杂度相对于输入大小为多项式时间，新公式的数量及其大小均被有界为输入大小的多项式函数。
• 该方法首次使提升推理能够应用于含存在量词的概率逻辑程序和马尔可夫逻辑网络，此前这些模型仅能退化为命题推理。
• 通过消除对存在量词的特殊推理规则需求，该方法简化了未来WFOMC算法的设计。
• 该程序使提升定理可应用于更广泛的理论类别，包括非Skolem范式的理论，通过将其转换为等价的Skolem范式，且不损失效率。