[论文解读] SKT geometry

Gil R. Cavalcanti|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2012

Geometry and complex manifolds被引用 2

一句话总结

本文利用广义复几何，为具有闭合斜对称挠率的SKT流形——即具有闭合斜对称挠率的Hermitian流形——发展了Hodge理论。它证明了与扭曲de Rham复形相关的谱序列在第一页崩溃，并确定了SKT结构形变的障碍，其应用涵盖Calabi–Eckmann流形、Instantons、Hopf曲面以及李群。

ABSTRACT

We use tools from generalized complex geometry to develop the theory of SKT (a.k.a. pluriclosed Hermitian) manifolds and more generally manifolds with special holonomy with respect to a metric connection with closed skew-symmetric torsion. We develop Hodge theory on such manifolds showing how the reduction of the holonomy group causes a decomposition of the twisted cohomology. For SKT manifolds this decomposition is accompanied by an identity between different Laplacian operators and forces the collapse of a spectral sequence at the first page. Further we study the deformation theory of SKT structures, identifying the space where the obstructions live. We illustrate our theory with examples based on Calabi--Eckmann manifolds, instantons, Hopf surfaces and Lie groups.

研究动机与目标

• 利用广义复几何的工具，为SKT流形发展Hodge理论。
• 理解度量联络具有闭合斜对称挠率时，特殊全纯性如何诱导扭曲上同调的分解。
• 分析SKT结构的形变理论，并确定障碍所处的上同调空间。
• 通过具体例子说明理论，包括Calabi–Eckmann流形、Instantons、Hopf曲面以及李群。

提出的方法

• 利用广义复几何分析SKT流形及其具有闭合斜对称挠率的度量联络。
• 应用Hodge理论，将扭曲上同调的分解与全纯性降低相关联。
• 推导SKT流形上不同Laplacian算子之间的恒等式。
• 证明与扭曲de Rham复形相关的谱序列在SKT流形上于第一页崩溃。
• 采用上同调技术，确定SKT结构形变障碍空间。
• 通过Calabi–Eckmann流形、Instantons、Hopf曲面以及李群的显式构造，验证理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 当度量联络具有闭合斜对称挠率时，全纯性群的约化如何影响流形的扭曲上同调？
• RQ2 SKT流形上不同Laplacian算子之间存在哪些恒等式，其几何意义为何？
• RQ3 与扭曲de Rham复形相关的谱序列在SKT流形上于哪一页崩溃？
• RQ4 SKT结构形变的障碍存在于哪个上同调空间中？
• RQ5 Calabi–Eckmann流形和李群等例子如何体现所发展的理论？

主要发现

• SKT流形的扭曲上同调由于度量联络具有闭合斜对称挠率所诱导的全纯性降低而发生分解。
• 在SKT流形上建立了不同Laplacian算子之间的恒等式，反映了其内在的几何约束。
• 与扭曲de Rham复形相关的谱序列在SKT流形上于第一页崩溃。
• SKT结构形变的障碍位于一个特定的上同调空间中，该空间通过广义复结构框架得以识别。
• 通过Calabi–Eckmann流形、Instantons、Hopf曲面以及李群的显式构造，验证了该理论，展示了其适用性。