[论文解读] SL(2,Z) Action On Three-Dimensional Conformal Field Theories With Abelian Symmetry

Edward Witten|ArXiv.org|Jul 3, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用 70

一句话总结

本文通过定义两种操作，在具有 $U(1)$ 对称性的三维共形场论（CFT）上建立了 $SL(2,\mathbb{Z})$ 作用：一是 $S$-对偶性，即对 $U(1)$ 电流进行规范化并使规范场成为无动能项的动力学场；二是 $T$-变换，即对背景规范场的陈-西蒙斯等级进行平移。关键结果是，这些操作生成了一个一致的 $SL(2,\mathbb{Z})$ 对称性，通过反 de Sitter/共形场论（AdS/CFT）对应，将三维 CFT 对偶性与四维 $U(1)$ 规范理论对偶性联系起来。

ABSTRACT

On the space of three-dimensional conformal field theories with U(1) symmetry and a chosen coupling to a background gauge field, there is a natural action of the group $SL(2,{\bf Z})$. The generator $S$ of $SL(2,{\bf Z})$ acts by letting the background gauge field become dynamical, an operation considered recently by Kapustin and Strassler in explaining three-dimensional mirror symmetry. The other generator $T$ acts by shifting the Chern-Simons coupling of the background field. This $SL(2,{\bf Z})$ action in three dimensions is related by the AdS/CFT correspondence to $SL(2,{\bf Z})$ duality of low energy U(1) gauge fields in four dimensions.

研究动机与目标

• 定义并严格建立具有 $U(1)$ 对称性的三维共形场论上的 $SL(2,\mathbb{Z})$ 作用。
• 阐明 $S$ 和 $T$ 生成元的物理意义：$S$ 作为对 $U(1)$ 电流进行规范化并引入动力学规范场，$T$ 作为陈-西蒙斯等级的平移。
• 通过反 de Sitter/共形场论（AdS/CFT）对应，将此三维 $SL(2,\mathbb{Z})$ 作用与四维低能 $U(1)$ 规范理论的 $SL(2,\mathbb{Z})$ 对偶性联系起来。
• 利用陈-西蒙斯理论形式化、两点函数计算以及 AdS/CFT 全息对偶，证明 $SL(2,\mathbb{Z})$ 作用的一致性。

提出的方法

• 通过规范化 $U(1)$ 电流 $J$ 并将背景规范场 $A$ 提升为无动能项的动力学场，定义了 $S$ 操作，从而得到一个新的 CFT，其电流为 $\widetilde{J} = *F/2\pi$。
• 定义 $T$ 操作为背景规范场陈-西蒙斯耦合的平移，对应于 $T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，该操作通过在电流两点函数中添加接触项来改变其形式。
• 利用陈-西蒙斯理论技术进行形式计算，确认 $S$ 和 $T$ 操作满足 $SL(2,\mathbb{Z})$ 代数关系，包括 $(ST)^3 = 1$ 和 $S^2 = -1$。
• 对于电流两点函数接近高斯分布的理论，显式计算了 $S$ 和 $T$ 的作用，结果与 $SL(2,\mathbb{Z})$ 的变换性质一致。
• 利用 AdS/CFT 对应，将边界 CFT 中的 $S$ 操作解释为四维反 de Sitter 空间中 $U(1)$ 规范场的电-磁对偶性，其中 $\vec{B}=0$ 和 $\vec{E}=0$ 的边界条件对应于狄利克雷和诺伊曼型条件。
• 该构造被推广至背景中的非阿贝尔规范理论，其中 $\vec{B}=0$ 和 $\vec{E}=0$ 的边界条件导致具有全局 $G$ 对称性的对偶 CFT，且 $\theta \to \theta + 2\pi$ 的变换会根据边界条件改变两点函数或陈-西蒙斯等级。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不保持等价性或模空间分量的前提下，如何在具有 $U(1)$ 对称性的三维 CFT 上一致地定义 $SL(2,\mathbb{Z})$ 对称性？
• RQ2 对 $U(1)$ 电流进行规范化但不为规范场添加动能项的 $S$-对偶性操作，其物理意义是什么？
• RQ3 尽管 $T$-变换本身看似平凡，为何它与 $S$-操作之间存在非平凡的相互作用？
• RQ4 通过 AdS/CFT 对应，三维 CFT 中的 $SL(2,\mathbb{Z})$ 作用如何与四维低能 $U(1)$ 规范理论中的 $SL(2,\mathbb{Z})$ 对偶性相关联？
• RQ5 该 $SL(2,\mathbb{Z})$ 结构能否推广至背景中的非阿贝尔规范理论？不同边界条件下会涌现出怎样的对偶 CFT？

主要发现

• 定义为对 $U(1)$ 电流进行规范化并使规范场成为无动能项的动力学场的 $S$ 操作，将一个具有 $U(1)$ 对称性的三维 CFT 映射到另一个此类 CFT，该操作对应于 $SL(2,\mathbb{Z})$ 的生成元 $S = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$。
• 定义为背景规范场陈-西蒙斯等级平移的 $T$ 操作，对应于 $T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，并通过在电流两点函数中添加接触项来实现作用。
• $S$ 和 $T$ 操作满足 $SL(2,\mathbb{Z})$ 关系 $(ST)^3 = 1$ 和 $S^2 = -1$，证实它们在具有 $U(1)$ 对称性的三维 CFT 空间上生成了一致的群作用。
• 在自由费米子的大 $N_f$ 极限下，$S$ 操作将自由理论映射到强耦合的三维 QED 极限，为该对偶性提供了具体的实现。
• 通过 AdS/CFT，边界 CFT 中的 $S$ 操作对应于四维 $U(1)$ 规范理论中的电-磁对偶性，其中 $\vec{B}=0$ 和 $\vec{E}=0$ 的边界条件起到了狄利克雷和诺伊曼条件的作用。
• 在划分函数上，$SL(2,\mathbb{Z})$ 作用是拓扑的，仅通过依赖于三维流形拓扑的相位因子进行变换，而与具体的 CFT 或电流结构无关。