[论文解读] SL(n,C)- Representation spaces of Knot Groups

Michael Heusener|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文研究了扭结群的 SL(n,C)-表示与特征簇的结构，重点关注 n ≥ 3 的情形。研究结果表明，图八扭结群在 SL(3,C) 中的特征簇包含五个不可约分支，其中包括两个同构于由三次方程定义的特定超曲面的分支，并通过到三角群和轨道丛基本群的群满同态，给出了不可约表示与幂零表示的显式描述。

ABSTRACT

The first part of this article is a general introduction to the the theory of representation spaces of discrete groups into SL(n,C). Special attention is paid to knot groups. In Section 2 we discuss the difference between the tangent space at the representation variety, and the representation scheme. We give an example of Lubotzky and Magid of a non scheme reduced representation (see Example 2.18). In the second part recent results about the representation and character varieties of knot groups into SL(n,C) with n $\\ge$ 3 are presented. This second part concerns mostly joint work with L. Ben Abdelghani, O. Medjerab, V. Mu{\\~n}os and J. Porti.

研究动机与目标

• 将 SL(n,C)-表示与特征簇理论从 SL(2,C) 扩展到更高秩群，特别是针对扭结群。
• 分析扭结群在 SL(n,C)（n ≥ 3）中的特征簇的几何与拓扑结构。
• 描述图八扭结群在 SL(3,C) 中的特征簇分解为不可约分支的结构。
• 通过到三角群和轨道丛基本群的群同态，识别并表征不可约表示与幂零表示。
• 澄清表示簇与表示概形之间的区别，特别是在非约化情形下。

提出的方法

• 利用仿射代数几何框架，通过矩阵元素中的多项式方程，将 SL(n,C)-表示簇定义为 (SL(n,C))^m 中的闭子集。
• 应用特征簇作为表示簇在 SL(n,C) 通过共轭作用下的商空间的概念。
• 利用从扭结群到有限商群（如 D(3,3,4)、A4）的群同态，构造特征簇的分支。
• 在高阶 Teichmüller 理论中，利用 Ptolemy 坐标与理想三角剖分来参数化表示。
• 应用 Lubotzky 与 Magid 关于非约化表示概形的结果，说明其几何复杂性。
• 以 von Dyck 群 D(3,3,4) 的特征簇作为模型，表明其具有一个二维分支，同构于 C^3 中由三次方程定义的超曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 n ≥ 3，扭结群的 SL(n,C)-表示与特征簇与已被广泛研究的 SL(2,C) 情形有何不同？
• RQ2 图八扭结群在 SL(3,C) 中的特征簇具有怎样的结构？
• RQ3 哪些特征簇分支来源于通过有限商群（如 D(3,3,4) 或 A4）的表示？
• RQ4 幂零表示如何参与特征簇的分解？它们是否为概形光滑？
• RQ5 与方程 ζ² − (νν̄ − 2)ζ + ν³ + ν̄³ − 5νν̄ + 5 = 0 定义的超曲面同构的分支具有何种几何意义？

主要发现

• 图八扭结群在 SL(3,C) 中的特征簇恰好包含五个不可约分支：一个对应阿贝尔表示，一个对应通过不可约 SL(2,C)-表示的表示族，以及三个对应不可约表示的分支。
• 分支 V₁ 与 V₂ 同构于 C³ 中由方程 ζ² − (νν̄ − 2)ζ + ν³ + ν̄³ − 5νν̄ + 5 = 0 定义的超曲面，其中参数 ν、ν̄、ζ 分别对应特定群元素的迹。
• 分支 V₀ 是突出分支，来源于群满同态 Γ₄₁ → A₄ 及 A₄ 在 SL(3,C) 中的不可约三维表示。
• 超曲面分支中的三个孤立点对应不可约幂零表示的特征标，位于 (ν, ν̄, ζ) = (2,2,1)、(2ω,2ω²,1) 与 (2ω²,2ω,1)，其中 ω = e²πi/3。
• 所有幂零特征标在特征簇中均为概形光滑，此结论已有先前工作确立。
• 在特征簇的自同态 h* 作用下，分支 V₁ 与 V₂ 相互交换，而 V₀ 保持不变。