[论文解读] SLE and Virasoro representations: localization

Julien Dubédat|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用 1

一句话总结

本文通过路径空间局域化方法，建立了 bordered Riemann 曲面的 Schramm-Loewner Evolution (SLE) 测度与 Virasoro 代数的最高权表示之间的严格联系。它构造了 SLE 类型测度，其配分函数生成一个可约 Verma 模的商模，Virasoro 作用通过在扩展的 Teichmüller 空间上的 Virasoro 双全纯化实现，从而将概率性 SLE 构造与共形场论表示联系起来。

ABSTRACT

We consider some probabilistic and analytic realizations of Virasoro highest-weight representations. Specifically, we consider measures on paths connecting points marked on the boundary of a (bordered) Riemann surface. These Schramm-Loewner Evolution (SLE)- type measures are constructed by the method of localization in path space. Their partition function (total mass) is the highest-weight vector of a Virasoro representation, and the action is given by Virasoro uniformization. We review the formalism of Virasoro uniformization, which allows to define a canonical action of Virasoro generators on functions (or sections) on a - suitably extended - Teichm\"uller space. Then we describe the construction of families of measures on paths indexed by marked bordered Riemann surfaces. Finally we relate these two notions by showing that the partition functions of the latter generate a highest-weight representation - the quotient of a reducible Verma module - for the former.

研究动机与目标

• 建立 bordered Riemann 曲面上 SLE 类型测度与 Virasoro 代数最高权表示之间的典范对应关系。
• 通过 Virasoro 双全纯化，形式化 Virasoro 生成元在扩展 Teichmüller 空间上的截面空间上的作用。
• 证明 Riemann 曲面上局域化 SLE 测度的配分函数构成一个最高权表示，具体为一个可约 Verma 模的商模。
• 通过行列式丛与共形异常公式框架，统一概率性 SLE 构造与共形场论。

提出的方法

• 使用路径空间中的局域化方法，构造连接 bordered Riemann 曲面标记边界点的路径上的测度。
• 应用 Virasoro 双全纯化，定义 Virasoro 生成元在扩展 Teichmüller 空间上的截面空间上的典范作用。
• 利用 ζ-正则化拉普拉斯算子行列式与共形异常公式，将几何数据与表示论结构联系起来。
• 通过行列式丛理论与可交换表示理论，推导配分函数的典范微分方程。
• 利用解析手术与变分公式，计算 Dirichlet-to-Neumann 算子的导数，将其与 Virasoro 作用联系起来。
• 通过分解与拟椭圆性，建立配分函数的零向量方程，确认其在 Virasoro 生成元作用下的变换性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过路径空间局域化系统地构造 bordered Riemann 曲面上的 SLE 类型测度？
• RQ2 Virasoro 代数在这些 SLE 测度的配分函数空间上的作用的精确形式是什么？
• RQ3 在扩展的 Teichmüller 空间上，Virasoro 双全纯化如何实现 Virasoro 生成元在模空间函数上的典范作用？
• RQ4 行列式丛与 ζ-正则化拉普拉斯算子在几何不变量与表示论之间的联系中起什么作用？
• RQ5 SLE 测度的配分函数如何满足最高权 Virasoro 表示的零向量方程？

主要发现

• 在 bordered Riemann 曲面上局域化 SLE 测度的配分函数生成 Virasoro 代数的最高权表示，具体为一个可约 Verma 模的商模。
• 配分函数上的 Virasoro 作用通过在扩展 Teichmüller 空间上的 Virasoro 双全纯化实现，提供了代数作用的典范实现。
• 配分函数满足 Virasoro 代数的零向量方程，确认其作为最高权向量的变换性质。
• 沿一参数变形族，Dirichlet-to-Neumann 算子的导数可表示为一个迹类积分算子，其核显式地以 theta 函数与素形式表示。
• ζ-正则化 Dirichlet-to-Neumann 算子行列式的变分由一个包含均匀化映射的 Schwarzian 导数的迹公式给出，将几何变分与共形异常联系起来。
• 变分算子的迹计算结果精确地包含 Schwarzian 连接的 (−n−2) 阶导数，确认了在 SLE 配分函数语境下的共形异常公式。