[论文解读] SLE martingales in coset conformal field theory

Anton Nazarov|arXiv (Cornell University)|May 28, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过识别在G/A共轭空间上的布朗运动下为局部鞅的相关函数，建立了施拉姆-洛瓦瑟夫（SLE）与共轭共形场论（CFT）之间的联系。作者推导出SLE参数（κ, τ）与CFT数据（权重、卡西米尔本征值）之间的显式关系，验证了其与parafermionic模型和极小模型的一致性，并提出了通过共轭CFT的非临界质量扰动研究非临界SLE的框架。

ABSTRACT

Scharmm-Loewner evolution (SLE) and conformal field theory (CFT) are popular and widely used instruments to study critical behavior of two-dimensional models, but they use different objects. While SLE has natural connection with lattice models and is suitable for strict proofs, it lacks computational and predictive power of conformal field theory. To provide a way for the concurrent use of SLE and CFT we consider CFT correlation functions which are martingales with respect to SLE. We establish connection between parameters of Schramm-Loewner evolution on coset space and algebraic data of coset conformal field theory. Then we check the consistency of our approach with the behaviour of parafermionic and minimal models. Coset models are connected with off-critical massive field theories and we discuss implications for SLE.

研究动机与目标

• 通过识别在G/A共轭空间上SLE的局部鞅可观测量，弥合SLE与共轭CFT之间的联系。
• 推导SLE参数（κ, τ）与共轭CFT代数数据（如权重和卡西米尔本征值）之间的显式关系。
• 验证该框架与已知的parafermionic模型和极小单位表示模型结果的一致性。
• 通过将共轭CFT的质量扰动与SLE中的漂移项关联，探索其对非临界SLE的启示。

提出的方法

• 使用由带漂移参数τ的布朗运动驱动的随机微分方程，在共轭空间G/A上构建SLE。
• 在共轭CFT中定义由G和A的权重（μ, ν）标记的边界条件改变算符。
• 利用共形映射将H_t割缝域上的相关函数表达为全平面相关函数的形式。
• 应用伊藤微积分推导必要的局部鞅条件，导出两个关联κ、τ与CFT数据的方程（12）和（13）。
• 利用G和A李代数的二次卡西米尔本征值C_μ和C_ν，代数化表达局部鞅条件。
• 通过共轭构造验证已知模型的一致性：Z_N parafermions（N=2,3）和极小单位表示模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在共轭CFT中，哪些相关函数在G/A共轭空间上的SLE下是局部鞅？
• RQ2 SLE参数κ和τ如何与共轭CFT的共形权重及卡西米尔本征值相关联？
• RQ3 所提出的框架是否能重现parafermionic模型和极小模型中的已知SLE参数？
• RQ4 能否将共轭CFT的质量扰动（以仿射Toda场论实现）与带漂移项的非临界SLE联系起来？
• RQ5 SLE动力学中的τ项是否对应于相关函数中主要场扰动的影响？

主要发现

• 对于Z_2 parafermion模型（即伊辛CFT），局部鞅条件给出h=1/2场的κ=3、τ=0，以及h=1/16场的κ=16/3、τ=0，与已知SLE值一致。
• 对于Z_3 parafermion模型，该方法导出三组不同的（κ, τ）对：（208/25, 242/225）、（10/3, 0）和（80/19, 14/171），与场内容和对称性一致。
• Z_3模型中h=2/5的场对应Z_3单态，导致τ=0，证实无额外布朗运动。
• 对于通过共轭构造实现的极小单位表示模型，方程（12）和（13）系统一致满足，τ=0且满足标准κ(c)关系。
• 该框架暗示了G/A共轭CFT的质量扰动（通过仿射Toda理论实现）与带漂移的非临界SLE之间存在对应关系，为研究临界点外的域墙开辟了路径。
• 推导出的κ、τ与CFT数据之间的关系为直接从共轭表示理论系统计算SLE参数提供了有效方法。