[论文解读] Sliding k-Transmitters: Hardness and Approximation

Thérèse Biedl, Saeed Mehrabi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2016

VLSI and FPGA Design Techniques被引用 3

一句话总结

本文证明了在任意固定的 k > 0 情况下，即使仅使用水平发射器，对正交且 y-单调多边形使用最少数量的滑动 k-发射器进行守卫的问题是 NP-难的。此外，本文还提出了一个 O(1)-近似算法，将先前针对滑动摄像头的研究成果扩展到了 k-发射器模型。

ABSTRACT

A sliding k-transmitter in an orthogonal polygon P is a mobile guard that travels back and forth along an orthogonal line segment s inside P. It can see a point p in P if the perpendicular from p onto s intersects the boundary of P at most k times. We show that guarding an orthogonal polygon P with the minimum number of k-transmitters is NP-hard, for any fixed k>0, even if P is simple and monotone. Moreover, we give an O(1)-approximation algorithm for this problem.

研究动机与目标

• 确定正交多边形中滑动 k-发射器博物馆问题的计算复杂性。
• 研究在诸如 y-单调性和正交性等受限几何条件下，该问题是否依然困难。
• 为最小滑动 k-发射器集合问题设计高效的近似算法。
• 确定滑动摄像头的近似框架是否可适配至滑动 k-发射器。

提出的方法

• 通过从平面 2-连通图的最小点覆盖问题归约，构造一个具有滑动 k-发射器的 y-单调正交多边形。
• 利用堆叠盒子和垂直通道设计顶点构件，以模拟图中的顶点和边。
• 通过使用细长垂直条带构造边构件，确保可见性约束与图中的边一致。
• 通过守卫线段和像素十字交叉，将守卫问题离散化为交叉击中问题。
• 将滑动 k-发射器映射为多边形边上的最大守卫线段，以简化可见性问题。
• 通过交叉击中公式化，将滑动摄像头的 O(1)-近似算法适配至滑动 k-发射器。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使限制在正交且 y-单调多边形中，滑动 k-发射器问题是否仍为 NP-难？
• RQ2 滑动摄像头的 O(1)-近似算法能否扩展至滑动 k-发射器？
• RQ3 当仅允许水平滑动 k-发射器时，问题的复杂性是否依然很高？
• RQ4 是否存在非平凡的多边形子类（超出正交凸多边形范围），使得该问题可在多项式时间内求解？

主要发现

• 对于任意固定的 k > 0，使用滑动 k-发射器守卫正交且 y-单调多边形的问题是 NP-难的。
• 即使仅允许水平滑动 k-发射器，且多边形为简单且单调的，该 NP-难性依然成立。
• 在任意正交多边形（包括带孔的多边形）中，滑动 k-发射器问题存在 O(1)-近似算法。
• 该近似算法通过将问题约化为守卫线段上的交叉击中问题而得出，其形式与滑动摄像头情况类似。
• 当仅限制为水平滑动 k-发射器时，该算法依然有效且更简化。
• O(1)-近似中的常数因子未明确指定，但可能较大，因其依赖于先前工作中构造的 ε-网。