[论文解读] Sliding mode control for a generalization of the Caginalp phase-field system

Pierluigi Colli, Davide Manini|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 35被引用 3

一句话总结

该论文为包含热位移的Caginalp相场系统第二阶推广形式设计了滑模控制（SMC），结合Green-Naghdi与Podio-Guidugli热力学理论。在适当的控制律与正则性条件下，证明了解的存在性、唯一性、连续依赖性以及有限时间收敛至滑模流形——无论是温度与相场变量之间的线性约束，还是预设的相场分布。

ABSTRACT

In the present paper, we present and solve the sliding mode control (SMC) problem for a second-order generalization of the Caginalp phase-field system. This generalization, inspired by the theories developed by Green and Naghdi on one side, and Podio-Guidugli on the other, deals with the concept of thermal displacement, i.e., a primitive with respect to the time of the temperature. Two control laws are considered: the former forces the solution to reach a sliding manifold described by a linear constraint between the temperature and the phase variable; the latter forces the phase variable to reach a prescribed distribution $\varphi^*$. We prove existence, uniqueness as well as continuous dependence of the solutions for both problems; two regularity results are also given. We also prove that, under suitable conditions, the solutions reach the sliding manifold within finite time.

研究动机与目标

• 将滑模控制（SMC）扩展至包含热位移的Caginalp相场系统第二阶推广形式。
• 设计状态反馈控制律，使系统状态能够达到并维持在由温度与相场变量之间线性约束所定义的滑模流形上。
• 设计控制律，使相场变量能够达到并保持在预设的目标分布ϕ∗上。
• 在所提出的SMC框架下，建立解的存在性、唯一性、连续依赖性与正则性。
• 在控制参数满足适当条件时，证明系统轨迹有限时间收敛至滑模流形。

提出的方法

• 基于Green-Naghdi与Podio-Guidugli热力学理论，引入热位移w（定义为温度ϑ的时间积分），构建广义Caginalp相场系统。
• 提出两种控制律：一种通过滑模流形强制温度ϑ与相场ϕ之间满足线性约束；另一种驱动相场ϕ趋向目标ϕ∗。
• 采用Yosida正则化（Signε）处理控制律中的非光滑符号函数，通过惩罚逼近方法实现分析。
• 推导正则化系统的变分形式与能量估计，利用Hilbert空间中的弱形式进行处理。
• 应用Gronwall型不等式与微分不等式技术，证明状态在有限时间内收敛至滑模流形。
• 利用范数的弱下半连续性与Lebesgue控制收敛定理，完成正则化方程组的极限取法。

实验结果

研究问题

• RQ1 滑模控制能否有效应用于包含热位移的Caginalp相场系统第二阶推广形式？
• RQ2 在所提出的控制律下，系统状态在何种条件下可实现有限时间收敛至滑模流形？
• RQ3 受控相场系统解的存在性、唯一性与正则性特征为何？
• RQ4 控制律如何在存在非光滑项与非线性项的情况下确保鲁棒性与有限时间收敛？
• RQ5 正则化参数ε与控制增益ρ在确保收敛性与稳定性方面起何作用？

主要发现

• 两种控制问题下系统均存在唯一解，且解对初值与参数具有连续依赖性。
• 解满足两条正则性结果：一条针对温度与相场变量，另一条针对热位移及其时间导数。
• 有限时间收敛至滑模流形已得证明：对于问题(A)，状态在时间T∗ < T内达到流形，且T∗ ≤ (2ψ₀)/(ρ − 2C₅ − C₅²/2)，其中ψ₀ = ∥ϑ₀ + α − η∗∥_H。
• 对于问题(B)，有限时间收敛成立，且T∗ ≤ ψ₀/(ρ − C₁₀)，其中ψ₀ = ∥ϕ₀ − ϕ∗∥_H。
• 控制增益ρ必须超过某一阈值ρ∗以确保有限时间收敛，且ρ∗以系统参数与时间范围显式表示。
• 收敛具有鲁棒性：分析在非光滑势能（如不可微双阱势）与非局部控制项下依然成立。