[论文解读] Sloshing in vertical cylinders with circular walls: the effect of radial baffles

Nikolay Kuznetsov, Oleg V. Motygin|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2021

Fluid Dynamics Simulations and Interactions参考文献 16被引用 13

一句话总结

本文分析了在具有圆形壁面的立式圆柱形容器中，径向隔板通过破坏轴对称性来抑制晃动，导致特征值简化且最低特征频率显著降低。通过分离变量法与贝塞尔函数，研究显示隔板使基频模态降低，并将表面振幅极值局域化在隔板连接点处，特征值变为单重，与无隔板的对称容器相比，最低模态的频率大幅下降。

ABSTRACT

The behaviour of sloshing eigenvalues and eigenfunctions is studied for vertical cylindrical containers that have circular walls and constant (possibly infinite) depth. The effect of breaking the axial symmetry due to the presence of radial baffles is analysed. It occurs that the lowest eigenvalues are substantially smaller for containers with baffles going throughout the depth; moreover, all eigenvalues are simple in this case. On the other hand, the lowest eigenvalue has multiplicity two in the absence of baffle. It is shown how these properties affect the location of maxima and minima of the free surface elevation and the location of its nodes.

研究动机与目标

• 研究具有圆形壁面的立式圆柱形容器中，径向隔板通过破坏轴对称性，对晃动特征值与特征函数的影响。
• 比较无隔板（对称）与有径向隔板（非对称）配置下的特征值与特征函数特性。
• 确定径向隔板抑制最低晃动频率的机制，这是关键的工程问题。
• 分析表面振幅极大值、极小值与节点的位置，及其与隔板位置和对称性破缺的关系。
• 将分析扩展至环形圆柱形容器，并与实心圆形圆柱形容器的结果进行比较。

提出的方法

• 将线性晃动问题表述为三维区域中拉普拉斯方程的混合斯蒂尔杰夫（Steklov）特征值问题，边界条件包括自由表面与刚性壁面。
• 在柱坐标系（r, θ, z）中应用分离变量法，将三维问题简化为二维径向与角向特征值问题。
• 使用第一类与第二类贝塞尔函数（J 与 Y）构造实心与环形容器的特征函数。
• 施加边界条件，包括刚性壁面上法向速度为零、自由表面上的动力条件（ϕ_z = νϕ），以及 L² 正交性（∫_F ϕ dxdy = 0）。
• 通过贝塞尔函数的交叉乘积方程的根求解特征值 ν，特别关注具有角向依赖 cos(mθ/2) 的径向模态。
• 对带隔板与不带隔板的容器（实心与环形）进行对比分析，重点考察特征值的重数、大小及其特征函数的空间分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 引入径向隔板后，立式圆柱形容器中晃动特征值的重数如何变化？
• RQ2 与对称容器相比，径向隔板对最低晃动特征值（基频）的定量影响是什么？
• RQ3 径向隔板的存在如何改变表面振幅极大值、极小值与节点的空间分布？
• RQ4 对称性破缺在基频模态局域化过程中起什么作用？
• RQ5 环形容器中带与不带径向隔板的特征值与特征函数，与实心圆形容器相比有何异同？

主要发现

• 带隔板的圆形实心圆柱形容器中，最低特征值显著小于无隔板情况，表明基频晃动频率大幅降低。
• 在存在径向隔板时，所有特征值均变为单重（非简并），而对称情况下最低特征值具有二重性。
• 带隔板情况下的基频特征函数在 y 方向为偶函数或奇函数（取决于隔板方向），导致表面振幅的极大值与极小值局域化在圆柱外壁的隔板连接点处。
• 对于带径向隔板的环形容器，最低特征值 ¯k◦_{1/2,1} 显著低于无隔板环形容器的情况，且当内半径 ρ 增大时，比值 ¯k◦_{1/2,1}/k◦_{1,1} 从 ~1.0 降低至 ~0.5。
• 带隔板容器的特征函数表现出复杂的节线图样：对于高阶模态（如 s=2,3），|R| 的极大值可能出现在隔板的内部点，而不仅限于端点。
• 当环形厚度 ρ→1 时，最低隔板特征值 ¯k◦_{p,1} → p，而高阶模态（s≥2）发散至无穷大，表明向薄环形极限过渡，仅存在孤立的基频模态。