[论文解读] Slow Divergence and Unique Ergodicity

Yitwah Cheung, Alex Eskin|ArXiv.org|Nov 2, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文建立了一个关于黎曼曲面上二次微分的垂直 foliation 唯一遍历性的新准则：若一个 Teichmüller 测地线以足够慢的速度发散——具体而言，若最短横截连接的对数长度增长慢于 ε log t + C（其中 ε 很小）——则该 foliation 是唯一遍历的。该结果将 Masur 基于递归性的唯一遍历性结果推广至发散测地线，并应用于刻画在两点分支的环面双覆盖中的非遍历方向。

ABSTRACT

Masur showed that a Teichmuller geodesic that is recurrent in the moduli space of closed Riemann surfaces is necessarily determined by a quadratic differential with a uniquely ergodic vertical foliation. In this paper, we show that a divergent Teichmuller geodesic satisfying a certain slow rate of divergence is also necessarily determined by a quadratic differential with unique ergodic vertical foliation. As an application, we sketch a proof of a complete characterization of the set of nonergodic directions in any double cover of the flat torus branched over two points.

研究动机与目标

• 将 Masur 关于唯一遍历性的结果从递归性推广至发散的 Teichmüller 测地线。
• 基于测地线发散速率，建立唯一遍历性的充分条件。
• 刻画在两点分支的平坦环面双覆盖中的非遍历方向。
• 将缓慢发散准则应用于一个具体的动力系统，解决 Veech 提出的问题。

提出的方法

• 定义发散函数 d(t) = -2 log ℓ(X_t)，其中 ℓ(X_t) 是 Teichmüller 测地线 X_t 上最短横截连接的长度。
• 引入通过曲面内矩形实现的 K-可见性与 K-可达性概念，以比较遍历平均值。
• 利用横截连接长度的几何控制，在 X_t 中构造具有有界数量和一致测度的 K-网络，由矩形构成。
• 利用某些面积序列 |A_j| 的非可 summability 性质，应用 [MS] 中的非遍历性准则，将发散速率与遍历性联系起来。
• 在临界时刻将曲面表示为圆柱体的并集，并使用面积交换估计来控制缓冲区的大小。
• 应用引理 4.1 表明：若 ∑|A_j| = ∞，则所有典型点确定相同的遍历平均值，从而蕴含唯一遍历性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Teichmüller 测地线的发散速率满足何种条件时，其垂直 foliation 是唯一遍历的？
• RQ2 该唯一遍历性准则能否从递归测地线推广至发散测地线？
• RQ3 在两点分支的环面双覆盖中，非遍历方向的集合是什么？
• RQ4 横截连接与全纯向量的几何结构如何与该类平直曲面中的遍历性相关？
• RQ5 分隔与非分隔的切口在决定双环面 foliation 的遍历行为中起什么作用？

主要发现

• 若对某个 ε > 0 和所有 t > 0，有 d(t) < ε log t + C，则垂直 foliation 是唯一遍历的。
• 缓慢发散条件确保与缓冲区相关的面积测度序列 |A_j| 满足 ∑|A_j| = ∞，这蕴含唯一遍历性。
• 若 ∑|A_j| < ∞，则 [MS] 中的非遍历性准则适用，表明 foliation 是非遍历的。
• 在两点分支的环面双覆盖中，一个方向是非遍历的，当且仅当其对应的测地线具有足够快的发散速度，即 ∑|A_j| < ∞。
• 非遍历方向的集合恰好对应于横截连接长度序列衰减过快、违反缓慢发散条件的方向。
• 证明构造了一个在每个 X_t 中至多含 N 个正方形的 K-网络，每个正方形的测度 ≥ δ，满足引理 2.6 的条件，从而保证唯一遍历性。