[论文解读] Slow entropy and symplectomorphisms of cotangent bundles

Urs Frauenfelder, Felix Schlenk|ArXiv.org|Apr 1, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 47被引用 8

一句话总结

本文引入了余切丛上辛同胚的多项式增长类比——慢熵——的概念。对于紧致流形余切丛上的非恒等辛同胚，本文在关键类中建立了慢体积增长 $ s_1 $ 和 $ s_d $ 的精确一致下界，包括紧支集哈密顿微分同胚与德恩扭转类映射，证明在适当条件下有 $ s_1(\varphi) \geq 1 $ 且 $ s_d(\varphi) \geq 1 $。

ABSTRACT

We consider an entropy-type invariant which measures the polynomial volume growth of submanifolds under the iterates of a map, and we establish sharp uniform lower bounds of this invariant for the following classes of symplectomorphisms of cotangent bundles over a compact base: 1) non-identical compactly supported symplectomorphisms which are symplectically isotopic to the identity, 2) symplectomorphisms generated by classical Hamiltonian functions, 3) Dehn twist like symplectomorphisms over compact rank one symmetric spaces.

研究动机与目标

• 定义并分析余切丛上辛同胚的多项式增长类比——慢体积增长——的性质。
• 在特定类中（包括哈密顿与德恩扭转类映射）为非恒等辛同胚的慢体积增长 $ s_i(\varphi) $ 建立一致下界。
• 研究这些下界在代数与几何上的含义，特别是紧支集辛同胚群的恒同连通分支。
• 将结果从 $ C^\infty $-光滑情形推广至 $ C^1 $-光滑辛同胚，确保不变量的鲁棒性。
• 将慢体积增长与微分范数的增长进行比较，引入新不变量 $ \gamma(\varphi) $，并从慢熵结果中导出其界。

提出的方法

• 定义 $ i $-维慢体积增长 $ s_i(\varphi) = \sup_{\sigma \in \Sigma_i} \liminf_{n \to \infty} \frac{\log \mu_g(\varphi^n(\sigma))}{\log n} $，用于度量迭代下的多项式体积增长。
• 利用 Yomdin–Newhouse 理论将指数体积增长与拓扑熵关联，并将其适配至多项式情形。
• 应用拉格朗日子弗同调计算 $ HF_*(\vartheta^m(D_x), D_y) $，针对 $ P $-流形上的德恩扭转类映射，证明当 $ m \neq 0 $ 时该同调群非零。
• 在凸辛流形中建立全纯曲线的横截性，以确保弗同调群定义良好。
• 在哈密顿情形利用作用泛函的无界性，导出在基本群满足特定条件时有 $ s_1(\varphi_H) \geq 1 $。
• 通过 $ C^\infty $-光滑辛同胚的逼近与体积增长在 $ C^1 $-拓扑下的连续性，将结果推广至 $ C^1 $-光滑映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ \operatorname{Symp}_0^c(T^*B) $ 中的非恒等辛同胚，慢体积增长 $ s_i(\varphi) $ 的尖锐下界是什么？
• RQ2 慢熵如何区分在微分同胚意义下但非辛同胚同痕于恒等的辛同胚？
• RQ3 慢体积增长能否用于检测群 $ \operatorname{Symp}_0^c(T^*B) $ 中的非平凡代数结构（如无挠元）？
• RQ4 慢体积增长 $ s_i(\varphi) $ 与微分范数增长 $ \gamma(\varphi) $ 之间有何关系？
• RQ5 慢熵结果在多大程度上可从 $ C^\infty $ 推广至 $ C^1 $-光滑辛同胚？

主要发现

• 对任意非恒等 $ \varphi \in \operatorname{Symp}_0^c(T^*B) $，均有 $ s_1(\varphi) \geq 1 $，且该下界是尖锐的。
• 对于 $ B $ 的基本群中具有有限或无限共轭类的余切丛上经典哈密顿系统，有 $ s_1(\varphi_H) \geq 1 $。
• 对于 $ B $ 为紧致秩一对称空间时，余切丛上德恩扭转类辛同胚满足 $ s_d(\varphi) \geq 1 $，其中 $ d = \dim B $。
• 非恒等辛同胚的慢微分增长 $ \gamma(\varphi) $ 满足 $ \gamma(\varphi) \geq 1 $，在所研究的类中成立。
• 通过逼近与 $ C^1 $-拓扑下体积增长的连续性，结果可推广至 $ C^1 $-光滑辛同胚。
• 对 $ s_i(\varphi) $ 的下界意味着 $ \operatorname{Symp}_0^c(T^*B) $ 无挠元，且群结构受慢熵不变量所约束。