[论文解读] Slow invariant manifold of heartbeat model

Jean‐Marc Ginoux, Bruno Rossetto|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2014

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文提出流曲率法，通过相空间中轨迹曲线曲率为零的特性，解析计算四维无驱动与受迫心跳模型的慢不变流形。该方法得出一个闭式‘状态方程’，将所有变量关联起来，为心脏动力学的预测与控制提供了潜在应用。

ABSTRACT

A new approach called Flow Curvature Method has been recently developed in a book entitled Differential Geometry Applied to Dynamical Systems. It consists in considering the trajectory curve, integral of any n-dimensional dynamical system as a curve in Euclidean n-space that enables to analytically compute the curvature of the trajectory - or the flow. Hence, it has been stated on the one hand that the location of the points where the curvature of the flow vanishes defines a manifold called flow curvature manifold and on the other hand that such a manifold associated with any n-dimensional dynamical system directly provides its slow manifold analytical equation the invariance of which has been proved according to Darboux theory. The Flow Curvature Method has been already applied to many types of autonomous dynamical systems either singularly perturbed such as Van der Pol Model, FitzHugh-Nagumo Model, Chua's Model, ...) or non-singularly perturbed such as Pikovskii-Rabinovich-Trakhtengerts Model, Rikitake Model, Lorenz Model,... More- over, it has been also applied to non-autonomous dynamical systems such as the Forced Van der Pol Model. In this article it will be used for the first time to analytically compute the slow invariant manifold analytical equation of the four-dimensional Unforced and Forced Heartbeat Model. Its slow invariant manifold equation which can be considered as a "state equation" linking all variables could then be used in heart prediction and control according to the strong correspondence between the model and the physiological cardiovascular system behavior.

研究动机与目标

• 通过一种新颖的几何方法，解析计算四维无驱动心跳模型的慢不变流形。
• 将该方法扩展至六维受迫心跳模型，通过变量扩展将非自治系统转化为自治系统。
• 建立一个作为‘状态方程’的慢流形方程，将系统所有变量关联起来，用于生理建模。
• 利用达布定理和几何不变性原理，验证所计算流形的不变性。
• 展示该方法在复杂生物动力系统中的适用性，潜在应用于心率预测与控制。

提出的方法

• 流曲率法将动力系统的轨迹曲线视为欧氏空间中的n维曲线，以解析计算其曲率。
• 该方法将流曲率流形定义为轨迹曲率消失的点的集合，由 det(Ẋ, Ẍ, Ẍ̇, Ẍ̈̇) = 0 确定。
• 通过达布定理证明该流形具有不变性，确保其作为慢流形的相关性。
• 对于含分段线性函数的系统（例如 h(x)），该方法在各区域（x < -0.5 和 x > 0.5）分别计算多项式方程。
• 对于非自治系统（例如受迫心跳模型），通过增加对应于谐振子的两个维度，将其转换为自治系统。
• 所得高维系统（6D）采用相同的基于曲率的流形检测方法进行分析，保持了几何与动力学的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 流曲率法能否解析计算四维无驱动心跳模型的慢不变流形？
• RQ2 该方法如何扩展至非自治系统，如受迫心跳模型？
• RQ3 心跳模型中将所有状态变量关联的慢流形方程的解析形式是什么？
• RQ4 所计算的慢流形与生理心脏动力学及心律失常模式有何关联？
• RQ5 能否通过微分几何与达布定理严格证明所计算流形的不变性？

主要发现

• 无驱动心跳模型的慢不变流形被解析导出为 det(Ẋ, Ẍ, Ẍ̇, Ẍ̈̇) = 0，提供了一个将所有变量关联的闭式‘状态方程’。
• 当 R = 0.018 Ω 时，计算出慢流形方程，并显示其在 (x₁, x₂, x₃) 相空间中与轨迹高度吻合，原因在于时间尺度分离参数较小。
• 通过将余弦强迫项嵌入谐振子，该方法成功扩展至6D受迫心跳模型，保持了系统的自治性。
• 流曲率流形及其李导数在慢流形附近融合，通过达布定理证实了其局部不变性。
• 慢流形方程使心脏变量的预测与控制成为可能，因其捕捉了系统的主要慢速动力学。
• 该方法可推广至其他生物动力系统，如HIV-1模型，作者建议未来工作进一步探索此方向。