[论文解读] Slow quenches in XXZ spin-chains -- the role of Galilean invariance breaking

Piotr Chudziński|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2016

Quantum many-body systems被引用 3

一句话总结

本文研究了在汤姆奥加-拉廷格液体相中的XXZ自旋链在缓慢淬火过程中的行为，重点关注时间依赖的各向异性 $J_z$ 所导致的伽利略不变性破缺的影响。通过线性斜坡和定制协议的精确解析解，表明传播波前的形状受伽利略不变性破缺的影响最为显著，关联函数中出现拉长的指数行为，尤其在由不完全伽马函数主导的中间区域。

ABSTRACT

We study a XXZ spin-chain in a gapless Tomonaga-Luttinger liquid (TLL) phase with time dependent anisotropy of spin exchange interactions. To begin we focus on a linear ramp of $J_z$, starting at XX point and slowly increasing towards the anti-ferromagnetic Heisenberg point. Although the problem of a linear ramp in the TLL has been recently under intense scrutiny in a perturbative \emph{g-ology} framework, an aspect that has been overlooked so far is the role of the Galilean invariance breaking. We find that, although the differential equation that needs to be solved to find time evolution of the system is substantially more complicated, in some cases exact analytic solutions can be given. We obtain them for the linear ramp in the limit of small $J_z$ as well as $J_z ightarrow 1$, and for such protocols that are tailored to keep the Galilean invariance breaking term constant for every $J_z$. We point out the features of dynamics during the quench that stays unaltered, and those that need to be taken with care when Galilean invariance breaking is present. We are able to deduce that it is the shape of the propagating front that is affected in the most pronounced way.

研究动机与目标

• 研究伽利略不变性破缺在无能隙汤姆奥加-拉廷格液体相中XXZ自旋链缓慢淬火动力学中的作用。
• 在小 $J_z$ 和 $J_z \to 1$ 的极限下，为线性和定制淬火协议下的时间依赖TLL参数推导精确解析解，特别是。
• 识别在伽利略不变性被破坏时，哪些动力学特征保持鲁棒，哪些需要谨慎处理。
• 澄清微扰g-ology与数值结果在波前动力学上存在差异的原因，尤其是在反铁磁海森堡点附近。

提出的方法

• 构建时间依赖的汤姆奥加-拉廷格液体哈密顿量，其中 $u(t)$ 和 $K(t)$ 为随时间变化的速变和拉廷格参数。
• 推导系统关联函数时间演化的微分方程，包含非绝热项和伽利略不变性破缺项。
• 通过贝塞尔函数和时间依赖相位因子，对线性斜坡和保持伽利略不变性破缺项恒定的协议进行精确求解。
• 通过动量空间积分计算关联函数 $\langle\theta(x,t)\theta(0,t)\rangle$，涉及 $|F(t)|^2$ 和一阶 $\pm1/3$ 的贝塞尔函数。
• 对积分进行渐近分析，将单调和振荡的贝塞尔函数区域分离，以提取波前动力学。
• 使用不完全伽马函数 $\Gamma(1-a, z_0)$ 分析描述波前形状，其中 $z_0 = 2i q(vt - x)$，并推导出中间区域的拉长指数行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 伽利略不变性破缺如何影响XXZ自旋链缓慢淬火过程中传播波前的形状？
• RQ2 能否为线性和定制淬火协议下时间依赖TLL参数推导出精确解析解？
• RQ3 为何数值模拟与微扰g-ology方法在波前动力学上存在分歧，尤其是在大 $J_z$ 时？
• RQ4 当伽利略不变性被破坏时，关联函数波前区域的函数形式是什么？
• RQ5 关联函数行为中指数随贝塞尔函数指标的变化如何，这对波前形态有何含义？

主要发现

• 传播波前的形状受伽利略不变性破缺的影响最为显著，在光锥内部偏离标准幂律行为。
• 对于小 $J_z$ 和 $J_z \to 1$ 极限下的线性斜坡，利用贝塞尔函数和时间依赖相位因子，推导出系统时间演化的精确解析解。
• 波前动力学由不完全伽马函数 $\Gamma(2/3, z_0)$ 控制，导致中间区域出现拉长指数行为 $I_{\text{fro}}(x,t) \sim \exp[x^{1/3}]$。
• 对于一般贝塞尔函数指标，波前形状遵循 $I_{\text{fro}}(x,t) \sim \exp[x^a]$，其中 $a = 1 - 2\nu_3$，表明 $\nu_3$ 减小会增强拉长指数区域的振幅。
• 积分上界在 $vt - x$ 较大时贡献对数项 $\sim \log(x)$，与绝热幂律区域一致；而下界在 $vt - x$ 较小时占主导，产生拉长指数行为。
• 当 $a = 1/2$ 时，结果可利用菲涅尔积分重写，与波前动力学中已知的特殊函数形式一致。