[论文解读] Small (2,s)-colorable graphs without 1-obstacle representations

János Pach, Deniz Sarıöz|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文证明了某些小规模的(2,s)-可图染色图——具体而言，一个10个顶点的二分图（K*₅,₅）、一个70个顶点的分图，以及一个10个顶点的(2,2)-可图染色图——的障碍数大于1，表明它们无法通过单一障碍进行表示。作者通过可见性与凸包的几何与组合论证，证明了这些图不存在1障碍表示，从而改进了先前的结果，并解决了关于最小非1障碍图的一个猜想。

ABSTRACT

An obstacle representation of a graph G is a set of points on the plane together with a set of polygonal obstacles that determine a visibility graph isomorphic to G. The obstacle number of G is the minimum number of obstacles over all obstacle representations of G. Alpert, Koch, and Laison gave a 12-vertex bipartite graph and proved that its obstacle number is two. We show that a 10-vertex induced subgraph of this graph has obstacle number two. Alpert et al. also constructed very large graphs with vertex set consisting of a clique and an independent set in order to show that obstacle number is an unbounded parameter. We specify a 70-vertex graph with vertex set consisting of a clique and an independent set, and prove that it has obstacle number greater than one. This is an ancillary document to our article in press. We conclude by showing that a 10-vertex graph with vertex set consisting of two cliques has obstacle number greater than one, improving on a result therein.

研究动机与目标

• 为解决Alpert等人（2013年）提出的猜想：10个顶点的二分图（K*₅,₅）的障碍数大于1。
• 构建一个比先前构造更小的70个顶点的(2,1)-可图染色图，其障碍数大于1，优于此前超过92,000个顶点的构造。
• 证明一个10个顶点的(2,2)-可图染色图的障碍数也大于1，从而改进了此前关于此类图的研究结果。

提出的方法

• 基于凸包与视线顺序的几何可见性论证，分析障碍表示。
• 在蓝色顶点周围定义区域（C_A），以根据非边关系对红色顶点位置进行分类。
• 对从[3]的2元子集到其自身的映射f应用排列与不动点分析，以在1障碍假设下导出矛盾。
• 对蓝色顶点集（B）的凸位置进行情况分析，区分B处于凸位置与非凸位置的情形。
• 利用凸四边形与五边形构造，证明当可见路径交叉时需要多个障碍。
• 利用外部点到障碍物的视线顺序的传递性，推导障碍物放置的约束条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 10个顶点的二分图K*₅,₅是否允许1障碍表示？若不允许，其障碍数是多少？
• RQ2 能否构造出一个显著小于先前已知结果的(2,1)-可图染色图，使其障碍数大于1？
• RQ3 是否存在一个(2,2)-可图染色图，其障碍数大于1，且其规模小于先前工作的20个顶点示例？

主要发现

• 10个顶点的二分图K*₅,₅的障碍数恰好为2，确认其无法通过单一障碍表示。
• 构造了一个70个顶点的(2,1)-可图染色图，其障碍数大于1，优于此前超过92,000个顶点的构造。
• 证明了一个10个顶点的(2,2)-可图染色图的障碍数大于1，改进了先前20个顶点的示例。
• 证明依赖于表明任何1障碍表示都会通过凸包与可见路径分析导致矛盾。
• 作者通过穷举红色顶点相对于蓝色顶点簇的所有可能配置，证明了10个顶点的(2,2)-可图染色图不存在1障碍表示。
• 研究结果解决了Alpert等人（2013年）关于障碍数大于1的二分图最小规模的猜想。