[论文解读] Small asymptotic translation lengths of pseudo-Anosov maps on the curve complex

Eiko Kin, Hyunshik Shin|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文证明，在第一贝蒂数至少为2的双曲纤维化3-流形中，存在一列在曲面上的伪阿诺索夫单值表示，其欧拉示性数趋于无穷，且其在曲线复形上的渐近平移长度精确地以 $1/|\chi(R_n)|^2$ 的速率衰减。该构造重新证明并推广了Gadre–Tsai关于闭曲面的结果，并将相同的渐近标度推广至超椭圆映射类群和超椭圆长柄体群。

ABSTRACT

Let $M$ be a hyperbolic fibered 3-manifold with $b_1(M) \geq 2$ and let $S$ be a fiber with pseudo-Anosov monodromy $ψ$. We show that there exists a sequence $(R_n, ψ_n)$ of fibers and monodromies contained in the fibered cone of $(S,ψ)$ such that the asymptotic translation length of $ψ_n$ on the curve complex $\mathcal{C}(R_n)$ behaves asymptotically like $1/|χ(R_n)|^2$. As applications, we can reprove the previous result by Gadre--Tsai that the minimal asymptotic translation length of a closed surface of genus $g$ asymptotically behaves like $1/g^2$. We also show that this also holds for the cases of hyperelliptic mapping class group and hyperelliptic handlebody group.

研究动机与目标

• 建立在第一贝蒂数 $b_1(M) \geq 2$ 的纤维化3-流形中，伪阿诺索夫映射在曲线复形上的最小渐近平移长度的渐近行为。
• 通过3-流形拓扑中的几何构造，重新证明并推广Gadre–Tsai关于 $L_{\mathcal{C}}(\mathrm{Mod}(S_g)) \asymp 1/g^2$ 的结果。
• 证明相同的渐近标度 $1/|\chi|^2$ 在超椭圆映射类群和超椭圆长柄体群中也成立。
• 通过在曲面的 $\mathbb{Z}$-覆叠中提升，构造显式的伪阿诺索夫映射类序列，其平移长度按 $1/|\chi(R_n)|^2$ 衰减。

提出的方法

• 将纤维化3-流形 $M$ 中纤维 $S$ 的单值映射 $\psi$ 提升到对应于固定原始上同调类 $\xi_0$ 的 $\mathbb{Z}$-覆叠 $\widetilde{S}$ 上。
• 构造一列曲面 $R_n = \widetilde{S}/\langle h^n \widetilde{\psi} \rangle$，其中 $h$ 为提升的提升变换，并证明 $|\chi(R_n)| \asymp n$。
• 证明 $R_n$ 上的单值映射 $\psi_n$ 为伪阿诺索夫映射，且其渐近平移长度满足 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \asymp 1/|\chi(R_n)|^2$。
• 利用Masur–Minsky和Bestvina–Handel的嵌套引理与列车轨道技术，从下方估计平移长度。
• 通过构造一条曲线 $\alpha$，使得对某个 $m \asymp |\chi(R_n)|^2$，有 $d_{\mathcal{C}}(\alpha, \psi_n^m(\alpha)) = 1$，从而建立上界，推出 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \leq C / |\chi(R_n)|^2$。
• 通过将辫子提升并利用5-辫的映射环面，将该构造应用于Hilden群和长柄体群，以生成所需的纤维化3-流形结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过3-流形拓扑中的几何构造重新推导出渐近标度 $L_{\mathcal{C}}(\mathrm{Mod}(S_g)) \asymp 1/g^2$？
• RQ2 该 $1/g^2$ 标度是否在映射类群的子群（如超椭圆映射类群和超椭圆长柄体群）中成立？
• RQ3 在 $b_1(M) \geq 2$ 的纤维化3-流形中，最小渐近平移长度的渐近行为如何？
• RQ4 能否在纤维化3-流形中构造一列伪阿诺索夫映射，使得 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \asymp 1/|\chi(R_n)|^2$？
• RQ5 $\mathbb{Z}$-覆叠的结构以及 $h^n \widetilde{\psi}$ 在曲线复形上的作用，如何与平移长度的衰减相关？

主要发现

• 对于任意第一贝蒂数 $b_1(M) \geq 2$ 的双曲纤维化3-流形 $M$，存在一列纤维 $(R_n, \psi_n)$，使得 $|\chi(R_n)| \asymp n$ 且 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \asymp 1/|\chi(R_n)|^2$。
• 该构造通过基于3-流形的几何方法，重新证明了Gadre–Tsai的结果 $L_{\mathcal{C}}(\mathrm{Mod}(S_g)) \asymp 1/g^2$。
• 相同的渐近标度 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \asymp 1/|\chi(R_n)|^2$ 在超椭圆映射类群 $\mathcal{H}(S_g)$ 中也成立，且对 $g \geq 3$ 有 $L_{\mathcal{C}}(\mathcal{H}(S_g)) \leq 1/(g^2 - 2g - 1)$。
• 该结果可推广至超椭圆长柄体群 $\mathcal{H}(\mathbb{H}_g)$，其中 $L_{\mathcal{C}}(\mathcal{H}(\mathbb{H}_g)) \leq C/g^2$，$C > 0$ 为某常数。
• 上界通过构造一条曲线 $\alpha$ 实现，使得对某个 $m \asymp |\chi(R_n)|^2$，有 $d_{\mathcal{C}}(\alpha, \psi_n^m(\alpha)) = 1$，从而推出 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \leq C / |\chi(R_n)|^2$。
• 该构造依赖于将5-辫提升至 $\mathbb{Z}$-覆叠，并对 $h^n \widetilde{\psi}$ 取商，从而得到具有穿孔的曲面及满足所需渐近行为的单值映射。