[论文解读] Small complete caps from nodal cubics

Nurdagül Anbar, Daniele Bartoli+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文通过利用在 $\mathbb{F}_q$ 上的节点型三次曲线导出的双覆盖弧，构建了仿射空间 $AG(N,q)$ 中目前已知最小的完全盖子，其中 $N \equiv 0 \pmod{4}$。证明表明，当 $m = m_1m_2$，$m_1, m_2$ 为 $q-1$ 的互素因子，$(m,6)=1$，且 $m \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ 时，此类弧可生成大小至多为 $\frac{(m_1+m_2)(q-1)}{m_1m_2} q^{(N-2)/2}$ 的完全盖子，显著改进了无穷多个 $q$ 的先前界限。该构造依赖于节点型三次曲线有理点群的因子群中的极大 3-独立子集。

ABSTRACT

Bicovering arcs in Galois affine planes of odd order are a powerful tool for constructing complete caps in spaces of higher dimensions. In this paper we investigate whether some arcs contained in nodal cubic curves are bicovering. For $m_1$, $m_2$ coprime divisors of $q-1$, bicovering arcs in $AG(2,q)$ of size $k\le (q-1)\frac{m_1+m_2}{m_1m_2}$ are obtained, provided that $(m_1m_2,6)=1$ and $m_1m_2

研究动机与目标

• 在高维仿射空间 $AG(N,q)$ 中构造更小的完全盖子，其中 $N \equiv 0 \pmod{4}$，特别是当 $q$ 为奇数时。
• 研究包含于 $\mathbb{F}_q$ 上节点型三次曲线中的弧是否为双覆盖弧，这是提升至高维盖子的关键条件。
• 通过利用节点型三次曲线有理点群的复合指数子群 $K$，改进现有的完全盖子构造。
• 证明在 $m = m_1m_2$，$(m_1,m_2)=1$，$(m,6)=1$，且 $m \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ 的条件下，$G/K$ 中的极大 3-独立子集可生成双覆盖弧。
• 证明所得到的盖子大小显著小于无穷多个 $q$ 的先前已知 $q^N/3$ 界。

提出的方法

• 利用 $\mathbb{F}_q$ 上节点型三次曲线有理点群的群结构，使用 $G$（非奇异点群）中指数为 $m$ 的子群 $K$。
• 通过在因子群 $G/K$ 中选取极大 3-独立子集对应的 $K$ 的陪集并集构造双覆盖弧，确保无三点共线且所有外部点至少被两条割线覆盖。
• 应用代数几何与函数域理论，验证当 $m = m_1m_2$，$(m_1,m_2)=1$，$(m,6)=1$，且 $m \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ 时，此类弧为双覆盖弧，使用先前研究中的充分条件。
• 采用提升方法：$AG(2,q)$ 中大小为 $k$ 的双覆盖弧可生成 $AG(N,q)$ 中大小为 $k q^{(N-2)/2}$ 的完全盖子，其中 $N \equiv 0 \pmod{4}$。
• 利用阿贝尔群中极大 3-独立子集的已知结果，特别是当 $G/K \cong \mathbb{Z}_{m_1} \times \mathbb{Z}_{m_2}$ 时，构造大小至多为 $m_1 + m_2$ 的子集，以最小化弧的大小。
• 通过优化 $m_1, m_2$，使 $\frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}$ 在约束 $m_1 m_2 \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ 且 $(m_1 m_2, 6) = 1$ 下最小化，从而获得定量界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在子群 $K$ 的有理点群 $G$ 的指数 $m$ 满足特定群论条件时，$\mathbb{F}_q$ 上节点型三次曲线中的弧是否为双覆盖弧？
• RQ2 当 $m = m_1 m_2$，$m_1, m_2$ 互素且 $m \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ 时，$AG(2,q)$ 中可被提升为 $AG(N,q)$ 中完全盖子的双覆盖弧的最小大小是多少？
• RQ3 对于大 $q$ 或 $h$ 满足 $q = p^h$，所得到的 $AG(N,q)$ 中完全盖子的大小与先前构造相比如何？
• RQ4 在什么 $q$ 和 $q-1$ 的因数分解条件下，比值 $\frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}$ 可显著小于 $1/3$ 或 $2p/q^{1/8}$？
• RQ5 使用复合指数 $m = m_1 m_2$ 而非素数指数，是否能改善双覆盖弧的大小，从而改善高维中完全盖子的大小？

主要发现

• 当 $m = m_1 m_2$，$m_1, m_2$ 为 $q-1$ 的互素因子，$(m,6)=1$，且 $m \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ 时，$G/K$ 中极大 3-独立子集对应的陪集并集在 $AG(2,q)$ 中形成大小至多为 $\frac{(m_1 + m_2)(q - 1)}{m_1 m_2}$ 的双覆盖弧。
• 该构造在所有 $N \equiv 0 \pmod{4}$ 且 $N \geq 4$ 时，生成 $AG(N,q)$ 中大小至多为 $\frac{(m_1 + m_2)(q - 1)}{m_1 m_2} q^{(N-2)/2}$ 的完全盖子，对无穷多个 $q$ 是目前已知最小的大小。
• 当 $p$ 较大且 $m = m_1 m_2$，$m_1, m_2$ 互素且 $m \leq \sqrt[4]{q}/3.5$ 时，比值 $\frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}$ 可显著小于 $1/3$ 和 $2p/q^{1/8}$，从而获得更小的盖子。
• 当 $h \leq 8$ 时，若 $p-1$ 有满足 $(m,6)=1$ 的复合因子 $m < \sqrt[4]{p}/3.5$，则该构造优于先前的 $q^N/3$ 界，得到大小约为 $\frac{2^{s_2} + 2^{s_1}3^k}{q^{1/8}} q^{N/2 - 1/8}$ 的盖子。
• 当 $h > 8$ 时，特别是当 $q = p^{12}$ 且 $p \equiv 1 \pmod{12}$，$(p^2 + 1)/2$ 为合数时，该构造得到大小小于 $2q^{N/2}/p$ 的盖子，优于先前最佳界限 $2q^{N/2}/p^{\lfloor(\lceil h/4\rceil - 1)/2\rfloor}$。
• 该方法推广并改进了先前对椭圆型和尖点型三次曲线的研究，通过允许复合 $m$，使得极大 3-独立子集的大小小于素数 $m$ 情况下的 $m/3$ 界。