[论文解读] Small Cuts and Connectivity Certificates: A Fault Tolerant Approach

Merav Parter|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文提出了一种容错方法，用于在 CONGEST 模型中解决分布式连通性问题，引入了一种受容错网络设计启发的新型图采样技术。该方法首次实现了在常数边连通度 λ 的情况下，以多项式 D 轮内计算最小割的确定性算法，并在 O(1/ε² · log²⁺ᵒ⁽¹⁾n) 轮内构建 (1−ε)λ-稀疏证书，显著改进了稀疏证书的轮复杂度，超越了先前 O(D) 的界限。

ABSTRACT

We revisit classical connectivity problems in the CONGEST model of distributed computing. By using techniques from fault tolerant network design, we show improved constructions, some of which are even "local" (i.e., with $\widetilde{O}(1)$ rounds) for problems that are closely related to hard global problems (i.e., with a lower bound of $Ω(Diam+\sqrt{n})$ rounds). Our main results are: (1) For $D$-diameter unweighted graphs with constant edge connectivity, we show an exact distributed deterministic computation of the minimum cut in $poly(D)$ rounds. This resolves one the open problems recently raised in Daga, Henzinger, Nanongkai and Saranurak, STOC'19. (2) For $D$-diameter unweighted graphs, we present a deterministic algorithm that computes of all edge connectivities up to constant in $poly(D)\cdot 2^{O(\sqrt{\log n\log\log n})}$ rounds. (3) Computation of sparse $λ$ connectivity certificates in $\widetilde{O}(λ)$ rounds. Previous constructions where known only for $λ\leq 3$ and required $O(D)$ rounds. This resolves the problem raised by Dori PODC'18.

研究动机与目标

• 解决在常数边连通度 λ 的图中，以多项式 D 轮在 CONGEST 模型中计算最小割的开放问题。
• 开发首个用于最小割和稀疏连通性证书的确定性分布式算法，克服对随机化技术的依赖。
• 将容错汇聚生成技术的适用范围扩展至连通性证书问题。
• 为常数连通度值的图提供计算所有边连通度的亚线性轮复杂度。

提出的方法

• 利用容错（FT）网络设计中的图采样技术，构建稀疏证书并计算最小割。
• 提出了一种通用集合的新定义及高效算法以计算该集合，从而实现对 FT 采样技术的去随机化。
• 通过随机采样实现边分解，将一个 λ-边连通图划分为 μ 个子图，每个子图的连通度为 Θ(log n / ε²)，从而实现独立处理。
• 应用超稀疏容错汇聚生成器（具有对数拉伸）以构建 O(λn)-边稀疏证书，且轮复杂度较低。
• 结合低冲突环覆盖与采样技术，在 poly(D) · 2^O(√(log n log log n)) 轮内计算所有边连通度。
• 证明：对于 λ-边连通图 G，其 f-FT-汇聚生成器在 f = λ−1 时本身即为 λ-边连通的，建立了汇聚生成器与连通性证书之间的重要联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在常数边连通度 λ 的图中，是否可以在 CONGEST 模型中以多项式 D 轮计算最小割？
• RQ2 是否可以在保持低轮复杂度的同时，对现有最小割和稀疏证书的随机化算法进行去随机化？
• RQ3 对于 λ ≥ 4 的 λ-边连通图，构造 (1−ε)λ-稀疏证书的最优轮复杂度是多少？
• RQ4 对于常数连通度值的图，是否可以以亚线性时间计算所有边连通度？
• RQ5 如何将容错汇聚生成构造重新用于生成稀疏连通性证书？

主要发现

• 本文解决了在任意常数 λ 下，以多项式 D 轮计算最小割的开放问题，提供了首个此类算法。
• 提出了首个用于计算最小割的确定性分布式算法，其轮复杂度与目前已知最佳随机化算法相当。
• 稀疏证书 (1−ε)λ-稀疏证书的构造实现了 O(1/ε² · log²⁺ᵒ⁽¹⁾n) 轮复杂度，与 D 无关且在 n 上为亚线性，显著优于先前的 O(D) 上限。
• 对于 λ = Ω(log n) 的图，该算法在 O(1/ε² · log²⁺ᵒ⁽¹⁾n) 轮内计算 (1−ε)λ-稀疏证书，消除了轮复杂度对 λ 的依赖。
• 该方法实现了首个用于常数连通度图的、计算所有边连通度的亚线性算法，轮复杂度为 poly(D) · 2^O(√(log n log log n))。
• 建立了容错汇聚生成器与稀疏连通性证书之间的紧密联系，证明：当 f = λ−1 时，f-FT-汇聚生成器本身即为 λ-边连通的。