[论文解读] Small deformations and non-left-invariant complex structures on a compact solvmanifold

Keizo Hasegawa|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文构建了一个六维紧致可解流形，其上存在连续的一族非左不变复结构，表明可解流形上左不变复结构的小形变未必保持左不变性。本文完成了三维复可解流形的分类，并确定了哪些流形 admits 超凯勒结构，表明所有单连通复可解李群上的三维左不变复结构微分同构于 $\mathbb{C}^3$。关键结果是通过在类型 (3b) 可解流形上使用形变理论，证明了非左不变复结构的存在性。

ABSTRACT

We observed in our previous paper that all the complex structures on four-dimensional compact solvmanifolds, including tori, are left-invariant. In this paper we will give an example of a six-dimensional compact solvmanifold which admits a continuous family of non-left-invariant complex structures. Furthermore, we will make a complete classification of three-dimensional compact homogeneous complex solvmanifolds; and determine which of them admit pseudo-Kaehler structures.

研究动机与目标

• 探究更高维可解流形上是否存在非左不变复结构，以扩展此前结果（即四维可解流形上的所有复结构均为左不变）
• 通过分析单模复可解李群中的格，对所有三维紧致齐性复可解流形进行分类
• 确定哪些三维复可解流形 admits 超凯勒结构，并确定其必要且充分条件

提出的方法

• 使用紧致可解流形上复结构的形变理论，特别是利用三维可解流形上复结构的小形变
• 应用 Nijenhuis 张量条件以验证李代数上几乎复结构的可积性
• 分析复化李代数的复子代数结构，以表征左不变复结构
• 构造复化李代数的复自同构，以证明所有三维复可解李群上的左不变复结构均微分同构于 $\mathbb{C}^3$
• 利用 Kodaira 的形变理论结果，识别出类型 (3b) 可解流形中连续的一族非 Stein 的万有覆叠
• 建立李代数短正合序列的等价性，以将自同构从李代数层面提升至群层面

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在维度大于四的紧致可解流形，其上 admits 非左不变复结构？
• RQ2 所有三维单连通复可解李群上的左不变复结构是否均微分同构于 $\mathbb{C}^3$？
• RQ3 哪些三维复可解流形 admits 超凯勒结构？
• RQ4 在可解流形上，左不变性是否在复结构的小形变下保持不变？
• RQ5 能否通过可解流形上左不变结构的小形变，产生连续的一族非左不变复结构？

主要发现

• 存在一个六维紧致可解流形，其上 admits 连续的一族非左不变复结构，该流形通过类型 (3b) 的三维复可解流形的小形变构造而成
• 所有三维单连通复可解李群上的左不变复结构均微分同构于 $\mathbb{C}^3$，无论其类型为交换、幂零或非幂零
• 通过确定单模复可解李群中所有格，完成了对三维紧致齐性复可解流形的分类
• 三维复可解流形 admits 超凯勒结构当且仅当其为类型 (1)（交换）或类型 (3b)（非幂零且 $h^1 = 3$）
• 可解流形上左不变复结构的小形变未必保持左不变性，这通过类型 (3b) 可解流形的形变空间中存在非左不变结构得到证明
• 流形到其万有覆叠空间的典范映射在形变下仍为微分同构，但形变后结构的万有覆叠并非 Stein，表明其非左不变性