[论文解读] Small extended formulation for knapsack cover inequalities from monotone circuits

Abbas Bazzi, Samuel Fiorini+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 9

一句话总结

本文提出了一种大小为准多项式时间的线性规划（LP）松弛，用于最小-0-1背包覆盖问题，其整数性间隙对任意 ε > 0 均不超过 2 + ε，该结果通过使用入度为 2 的 O(log²n)-深度单调电路实现。该构造利用了扩展形式与单调电路复杂度之间的联系，为这一类不等式提供了首个大小为亚指数时间且整数性间隙为常数的松弛。

ABSTRACT

Initially developed for the min-knapsack problem, the knapsack cover inequalities are used in the current best relaxations for numerous combinatorial optimization problems of covering type. In spite of their widespread use, these inequalities yield linear programming (LP) relaxations of exponential size, over which it is not known how to optimize exactly in polynomial time. In this paper we address this issue and obtain LP relaxations of quasi-polynomial size that are at least as strong as that given by the knapsack cover inequalities.For the min-knapsack cover problem, our main result can be stated formally as follows: for any e > 0, there is a (1/e)O(1)nO(log n)-size LP relaxation with an integrality gap of at most 2 + e, where n is the number of items. Prior to this work, there was no known relaxation of subexponential size with a constant upper bound on the integrality gap.Our construction is inspired by a connection between extended formulations and monotone circuit complexity via Karchmer-Wigderson games. In particular, our LP is based on O(log2n)-depth monotone circuits with fan-in 2 for evaluating weighted threshold functions with n inputs, as constructed by Beimel and Weinreb. We believe that a further understanding of this connection may lead to more positive results complementing the numerous lower bounds recently proved for extended formulations.

研究动机与目标

• 为解决当前背包覆盖不等式缺乏多项式时间可解且规模小的LP松弛的问题，这些松弛目前产生指数大小的公式。
• 开发一种大小为亚指数时间的LP松弛，同时保持常数整数性间隙，以克服现有公式的局限性。
• 建立组合优化中扩展形式与单调电路复杂度之间的构造性联系。
• 为指数大小的背包覆盖松弛提供一种可扩展的替代方案，同时保持强LP界。
• 探索单调电路构造在设计高效扩展形式方面的潜力。

提出的方法

• 该方法使用 O(log²n)-深度的入度为 2 的单调电路，以计算 n 个输入上的加权阈值函数，其构造基于 Beimel 和 Weinreb 的结果。
• 通过 Karchmer-Wigderson 博弈形式化了单调电路复杂度与扩展形式之间的联系。
• LP 松弛从电路结构中推导得出，通过电路的深度和入度约束编码有效不等式。
• 该公式被设计为捕捉所有背包覆盖不等式，同时保持准多项式规模 (1/ε)^O(1) · n^O(log n)。
• 该构造确保对任意 ε > 0，整数性间隙被限制在 2 + ε 以内，与目前已知的最佳理论界一致。
• 该方法可通过利用相同的基于电路的不等式编码方式推广至其他覆盖问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出一种大小为亚指数时间的LP松弛，同时保持背包覆盖不等式的强度？
• RQ2 是否存在一种系统性方法，可将单调电路复杂度转化为紧凑的扩展形式？
• RQ3 能否通过准多项式形式，将背包覆盖松弛的整数性间隙限制为常数？
• RQ4 表示背包覆盖不等式中加权阈值函数所需的最小电路深度和入度是多少？
• RQ5 Karchmer-Wigderson 博弈框架是否能促成小型扩展形式的新构造？

主要发现

• 本文为最小-0-1背包覆盖问题构造了一种大小为 (1/ε)^O(1) · n^O(log n) 的LP松弛，其整数性间隙不超过 2 + ε。
• 这是首个已知的、针对背包覆盖不等式的大小为亚指数时间且整数性间隙为常数的松弛。
• 该构造基于 Beimel 和 Weinreb 的结果，依赖于用于加权阈值函数的 O(log²n)-深度单调电路，入度为 2。
• 该方法通过 Karchmer-Wigderson 博弈在单调电路复杂度与扩展形式之间建立了新颖的桥梁。
• 该方法为指数大小松弛提供了一种可扩展的替代方案，同时保持了强理论保证。
• 结果表明，对基于电路复杂度的公式有更深入的理解，可能进一步推动扩展形式设计的发展。