[论文解读] Small-gain theorem for stability, cooperative control and distributed observation of infinite networks

Navid Noroozi, Andrii Mironchenko+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2020

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文提出了一种计算上可行的无限网络非线性系统小增益定理，实现了关于闭集的指数输入-状态稳定性。通过利用增益算子的谱半径，该方法在无限网络中实现了稳定性、一致性以及分布式观测器设计，且可通过高效的数值计算实现。

ABSTRACT

Motivated by a paradigm shift towards a hyper-connected world, we develop a computationally tractable small-gain theorem for a network of infinitely many systems, termed as infinite networks. The proposed small-gain theorem addresses exponential input-to-state stability with respect to closed sets, which enables us to analyze diverse stability problems in a unified manner. The small-gain condition, expressed in terms of the spectral radius of a gain operator collecting all the information about the internal Lyapunov gains, can be numerically computed for a large class of systems in an efficient way. To demonstrate broad applicability of our small-gain theorem, we apply it to the stability analysis of infinite time-varying networks, to consensus in infinite-agent systems, as well as to the design of distributed observers for infinite networks.

研究动机与目标

• 解决大规模、高度互联系统（如智能电网和物联网网络）中缺乏可扩展稳定性分析工具的问题。
• 将现有小增益定理从有限网络扩展至无限网络，尤其适用于非线性、时变以及非空间不变系统。
• 在单一框架下统一分析各类控制问题——时变网络的稳定性、无限智能体系统中的一致性以及分布式状态估计。
• 基于增益算子的谱半径，开发一种数值高效的条件，以验证稳定性，且无需施加空间不变性或线性等限制性假设。

提出的方法

• 将无限网络建模为巴拿赫空间 $\ell^p(\mathbb{N}, (n_i))$ 中的系统，其中 $p \in [1, \infty)$，以捕捉所有子系统的集体状态。
• 定义一个复合系统，其状态为 $ (x, \hat{x}) \in X \times X $，其中 $ x $ 为真实状态，$ \hat{x} $ 为来自局部观测器的估计状态。
• 引入李雅普诺夫函数 $ V(x, \hat{x}) = \sum_{i=1}^\infty \mu_i V_i(x_i, \hat{x}_i) $，其中 $ \mu_i \in \ell^\infty $，以分析误差动态。
• 为每个子系统推导耗散估计 $ \mathrm{D}^+ V_i \leq -\lambda_i V_i + \sum_{j \in I_i} \gamma_{ij} V_j $，以建模观测误差的传播。
• 构建一个编码互连增益 $ \gamma_{ij} $ 的增益算子 $ \Psi $，并要求 $ r(\Psi) < 1 $ 以确保全局指数稳定。
• 利用有序巴拿赫空间上正算子的谱理论，确保小增益条件既必要又可计算验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非线性系统的无限网络开发一个小增益定理，使其超越线性和空间不变系统，推广现有结果？
• RQ2 在缺乏空间不变性或线性假设的情况下，如何为无限网络建立关于闭集的指数输入-状态稳定性？
• RQ3 增益算子的谱半径能否作为验证无限网络中稳定性的数值高效条件？
• RQ4 该框架在多大程度上能统一分析时变网络稳定性、无限智能体系统中的一致性以及分布式观测器设计？

主要发现

• 小增益条件 $ r(\Psi) < 1 $，其中 $ \Psi $ 是由互连增益导出的增益算子，可确保关于集合 $ \mathcal{A} = \{ (x, \hat{x}) : x = \hat{x} \} $ 的指数输入-状态稳定性。
• 复合系统 (39) 拥有李雅普诺夫函数 $ V(x, \hat{x}) = \sum_{i=1}^\infty \mu_i V_i(x_i, \hat{x}_i) $，其中 $ \mu_i \in \ell^\infty $，确保了误差动态的全局指数稳定。
• 误差动态满足 $ |\phi(t,x) - \hat{\phi}(t,\hat{x})|_p \leq \beta(|x - \hat{x}|_p, t) $，其中 $ \beta \in \mathcal{KL} $，证明了其具备鲁棒的分布式观测能力。
• 该方法适用于时变无限网络，在相同的谱半径条件下可确保原点处的稳定性。
• 对于无限智能体一致性问题，通过适当选择增益矩阵并验证 $ r(\Psi) < 1 $，该框架可确保加权平均一致性。
• 该方法计算高效，因为对于一大类系统，$ \Psi $ 的谱半径可被数值计算，而无需进行完整系统仿真。