[论文解读] Small generators for S-unit groups of division algebras

(:Unkn) Unknown|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 11被引用 1

一句话总结

本文证明了当 S 包含一个有限且显式定义的素点集合时，一个数域上中心单除法代数的 S-单位群由有界高度的元素生成。该文将 Lenstra 对基域乘法群的结果推广至中心单除法代数的乘法群，给出了依赖于数域和极大序判别式的显式高度上界。

ABSTRACT

© 2014, University at Albany. All rights reserved. Let k be a number field, suppose that B is a central simple division algebra over k, and choose any maximal order D of B. The object of this paper is to show that the group D^∗S of S-units of B is generated by elements of small height once S contains an explicit finite set of places of k. This generalizes a theorem of H. W. Lenstra, Jr., who proved such a result when B = k. Our height bound is an explicit function of the number field and the discriminant of a maximal order in B used to define its S-units.

研究动机与目标

• 将 Lenstra 关于数域乘法群的 S-单位群有界高度生成元的定理，从数域的乘法群推广至中心单除法代数的乘法群。
• 确定一个有限且显式定义的素点集合 S，使得除法代数的 S-单位群由高度较小的元素生成。
• 推导出 S-单位群生成元高度的显式上界，该上界依赖于数域和除法代数中极大序的判别式。

提出的方法

• 利用中心单代数和极大序的结构理论，分析数域 k 上除法代数 B 中的 S-单位群 D∗S。
• 应用代数数论和数的几何技术，对 S-单位群中生成元的高度进行有界。
• 构造一个有限素点集合 S，以确保 S-单位群由高度受控的元素生成。
• 利用 B 中固定极大序的判别式，显式定义高度上界。
• 利用 S-单位是在有限个素点之外的单位这一事实，将问题约化为对有限生成阿贝尔群中生成元高度的有界。
• 将 Lenstra 对 k× 的方法推广至除法代数单位的非交换情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于数域上中心单除法代数的 S-单位群，当素点集合 S 足够大时，是否可由有界高度的元素生成？
• RQ2 此类生成元的高度是否存在显式上界？该上界如何依赖于数域和极大序的判别式？
• RQ3 如何将 Lenstra 关于数域乘法群的结果推广至除法代数的乘法群？

主要发现

• 当 S 包含一个特定的有限素点集合时，数域 k 上中心单除法代数 B 的 S-单位群 D∗S 由有界高度的元素生成。
• 高度上界显式地表示为数域 k 和 B 中固定极大序的判别式的函数。
• 该上界将 Lenstra 对 k× 的结果推广至除法代数单位的非交换情形。
• 为确保有界高度生成而所需的有限素点集合被显式构造，且依赖于 k 和代数 B 的算术性质。
• 该结果在 S 包含指定有限集合的前提下，对所有 S-单位建立了与具体 S-单位无关的统一高度上界。