[论文解读] Small Instantons, Little Strings and Free Fermions

A. Losev, A. Marshakov+1 more|ArXiv.org|Feb 24, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用 125

一句话总结

本文建立了在 $τ=0$ 的 $τ$-twisted 边界条件下，$τ=0$ 的 $τ=0$ 与 $τ=0$ 之间的对偶性，以及在 $τ=0$ 上的自由费米子二维共形场论。证明了具有所有外尔耦合的 $U(1)$ 理论的有效预势等价于 $τ=0$ 上的拓扑弦的自由能，使用通过 Toda 晶格层次的 tau 函数表示的划分函数。

ABSTRACT

We present new evidence for the conjecture that BPS correlation functions in the N=2 supersymmetric gauge theories are described by an auxiliary two dimensional conformal field theory. We study deformations of the N=2 supersymmetric gauge theory by all gauge-invariant chiral operators. We calculate the partition function of the N=2 theory on R^4 with appropriately twisted boundary conditions. For the U(1) theory with instantons (either noncommutative, or D-instantons, depending on the construction) the partition function has a representation in terms of the theory of free fermions on a sphere, and coincides with the tau-function of the Toda lattice hierarchy. Using this result we prove to all orders in string loop expansion that the effective prepotential (for U(1) with all chiral couplings included) is given by the free energy of the topological string on CP^1. Gravitational descendants play an important role in the gauge fields/string correspondence. The dual string is identified with the little string bound to the fivebrane wrapped on the two-sphere. We also discuss the theory with fundamental matter hypermultiplets.

研究动机与目标

• 将 $τ=0$ 规范理论中有效预势计算方法扩展至包含所有规范不变的外尔算符。
• 建立 $τ=0$ 规范理论中 BPS 关联函数与二维共形场论之间的对应关系。
• 证明具有瞬子（非交换或 D-瞬子）的 $U(1)$ 理论的划分函数等价于 Toda 晶格层次的 tau 函数。
• 在所有弦圈展开阶数上证明，具有所有外尔耦合的有效预势对应于 $τ=0$ 上的拓扑弦自由能。
• 识别出对偶弦为束缚于在二维球面上缠绕的五brane 上的小弦，引力后代在其中起关键作用。

提出的方法

• 通过在圆上使用广义的 Scheck-Schwarz 紧化，结合洛伦兹旋转和全局对称群 $H$ 中的威尔逊线，构建 $τ=0$ 规范理论在 $τ=0$ 上的理论。
• 推导具有瞬子的 $U(1)$ 理论的划分函数，表明其可表示为球面上自由费米子的形式。
• 将划分函数识别为 Toda 晶格层次的 tau 函数，从而实现精确的非微扰计算。
• 利用费米子表示计算有效预势，证明其与 $τ=0$ 上拓扑弦的亏格 $g$ 自由能一致。
• 应用等变局部化技术于 $Q$-不变的李代数取值场上的积分，其依赖于 $τ=0$、$τ=0$、$τ=0$ 和一个 $τ=0$ 变形参数。
• 在空间 $τ=0$ 上的向量丛 $τ=0$ 上引入度量形变，表明在 $t \to 0$ 极限下，形式局域化到截面 $s$ 的零点，从而实现在不动点上的局域化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否非微扰地计算具有所有外尔耦合的 $τ=0$ $U(1)$ 规范理论的完整有效预势？
• RQ2 $τ=0$ 规范理论中 BPS 关联函数是否存在二维共形场论对偶？
• RQ3 具有瞬子的 $U(1)$ 理论的划分函数是否与 Toda 晶格层次的 tau 函数一致？
• RQ4 能否在所有弦圈展开阶数上将有效预势识别为 $τ=0$ 上的拓扑弦自由能？
• RQ5 引力后代在规范-理论/弦理论对偶中的作用是什么？对偶弦的本质是什么？

主要发现

• 具有瞬子的 $U(1)$ $τ=0$ 规范理论的划分函数被精确表示为 Toda 晶格层次的 tau 函数。
• 包括所有外尔耦合 $τ=0$ 的有效预势被证明在所有弦圈展开阶数上等于 $τ=0$ 上拓扑弦的自由能。
• 对偶弦被识别为束缚于在二维球面上缠绕的五brane 上的小弦，引力后代在其中起核心作用。
• 通过球面上的自由费米子表示推导出划分函数，为规范理论路径积分提供了非微扰实现。
• 在 $τ=0$ 上使用 $Q$-不变形式和 $τ=0$ 变形测度的等变局部化，导出了划分函数的不动点公式。
• 在 $τ=0$ 上向量丛 $τ=0$ 的度量形变中，当 $t \to 0$ 时，$Q$-不变形式局域化到截面 $s$ 的零点，从而在该背景下证实了局域化原理。