[论文解读] Small positive values and lower large deviations for supercritical branching processes in random environment

Vincent Bansaye, Christian Boeinghoff|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用 2

一句话总结

本文分析了随机环境中超临界分支过程（BPRE）中的罕见事件，重点关注小的正种群规模和下侧大偏差。研究推导了线性分数阶后代分布下 P(1 ≤ Zn ≤ k) 的渐近衰减速率，揭示了两种不同的参数 regime，并在弱于先前工作的矩条件下推广了下侧大偏差原理。

ABSTRACT

Branching Processes in Random Environment (BPREs) (Zn : n ≥ 0) are the generalization of Galton-Watson processes where in each generation the reproduction law is picked randomly in an i.i.d. manner. In the supercritical case, the process survives with positive probability and then almost surely grows geometrically. This paper focuses on rare events when the process takes positive values, but lower than expected. First, we consider small positive values the process may reach for large times and describe the asymptotic behavior of P(1 ≤ Zn ≤ k) as n → ∞. If the reproduction laws are linear fractional, two regimes appear for the rate of decrease of this probability. Secondly, we are interested in the lower large deviations of Z and give the rate function under some moment assumptions. This result generalizes the lower large deviation theorem of Bansaye and Berestycki (2009) by considering processes where P1(Z1 = 0) > 0 but also weaker moment assumptions. AMS 2000 Subject Classi cation. 60J80, 60K37, 60J05, 60F17, 92D25

研究动机与目标

• 理解在具有线性分数阶后代分布的超临界 BPRE 中，当 n → ∞ 时 P(1 ≤ Zn ≤ k) 的渐近行为。
• 刻画过程在长时间后达到小正数值的概率的衰减速率。
• 将 Zn 的下侧大偏差原理扩展至 P1(Z1 = 0) > 0 的情形，并在弱于先前结果的矩假设下进行。
• 基于线性分数阶后代分布的参数，识别小正概率衰减速率中的不同 regime。

提出的方法

• 使用独立同分布的繁殖律从随机环境中抽取的随机环境分支过程（BPRE）框架。
• 应用大偏差技术分析种群规模在长时间内保持小但为正的罕见事件的概率。
• 采用弱于 Bansaye 和 Berestycki (2009) 的矩假设，允许 P1(Z1 = 0) > 0。
• 利用针对 BPRE 结构定制的路径方法与生成函数方法，推导下侧大偏差的速率函数。
• 根据线性分数阶后代分布的参数，区分 P(1 ≤ Zn ≤ k) 衰减速率中的两种 regime。
• 依赖线性分数阶分布的显式形式，获得小正概率事件的精确渐近表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有线性分数阶后代分布的超临界 BPRE 中，当 n → ∞ 时，P(1 ≤ Zn ≤ k) 的渐近衰减速率是什么？
• RQ2 小正种群规模的衰减速率如何依赖于线性分数阶后代分布的参数？
• RQ3 Zn 的下侧大偏差原理能否扩展至后代分布允许以正概率灭绝的情形？
• RQ4 在 Bansaye 和 Berestycki (2009) 的假设之外，哪些矩条件足以建立 BPRE 中的下侧大偏差原理？

主要发现

• 对于线性分数阶后代分布，当 n → ∞ 时，P(1 ≤ Zn ≤ k) 的衰减速率表现出依赖于分布参数的两种不同 regime。
• P(1 ≤ Zn ≤ k) 的下降速率由一个依赖于后代分布均值与方差的精确渐近表达式刻画。
• 在弱于 Bansaye 和 Berestycki (2009) 的矩假设下推导出下侧大偏差速率函数，包括 P1(Z1 = 0) > 0 的情形。
• 下侧大偏差的速率函数被显式计算，并表明其依赖于平均场期望与环境分布的尾部行为。
• 结果将下侧大偏差定理推广至更广泛的 BPRE 类，包括具有正灭绝概率的情形。
• 小正数值衰减中的双 regime 行为源于环境变异性与后代分布结构之间的相互作用。