[论文解读] Small Representation Principle

H. B. F. Nielsen|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2014

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提出了小表示原理（SRP），这是一种新颖的群论判据，通过一个‘目标量’——即所有单群与阿贝尔因子的二次Casimir不变量比值 $C_A/C_F$ 的归一化乘积——在竞争中唯一识别出标准模型规范群 $S(U(2) imes U(3))$ 和四维时空。该原理选择具有最小可能忠实表示的群，成功预测了标准模型规范群与时空维度 $d=4$，暗示表示理论与基础物理之间存在深层联系。

ABSTRACT

In a previous article Don Bennett and I looked for, found and proposed a game in which the Standard Model Gauge Group $S(U(2) imes U(3))$ gets singled out as the "winner". This "game" means that the by Nature chosen gauge group should be just that one, which has the maximal value for a quantity, which is a modification of the ratio of the quadratic Casimir for the adjoint representation and that for a "smallest" faithful representation. In a recent article I proposed to extend this "game" to construct a corresponding game between different potential dimensions for space-time. The idea is to formulate, how the same competition as the one between the potential gauge groups would run out, if restricted to the potential Lorentz or Poincare groups achievable for different dimensions of space-time $d$. The remarkable point is, that it is the experimental space-time dimension 4, which wins. It follows that the whole Standard Model is specified by requiring SMALLEST REPRESENTATIONS! Speculatively we even argue that our principle found suggests the group of gauge transformations and some manifold(suggestive of say general relativity).

研究动机与目标

• 从所有可能的候选中识别出一个普遍原则，以选择标准模型规范群与时空维度 $d=4$。
• 解决长期以来关于为何标准模型规范群与四维时空在自然界中被实现的谜题。
• 提出一种基于最小忠实表示的新判据，以解释标准模型的结构，包括费米子与希格斯表示。
• 探讨该原理是否能在一个统一的理论框架中统一解释规范对称性、时空维度与粒子内容的起源。

提出的方法

• 将‘目标量’定义为群的所有单群与阿贝尔因子的乘积的 $d_G$ 次方根，其中每个单群因子包含 $ (C_A/C_F)^{d_i} $，每个阿贝尔因子包含 $ (e_A^2/e_F^2) $。
• 利用伴随表示的二次Casimir $C_A$ 与最小非平凡（忠实）表示 $F$ 的 $C_F$，计算每个群因子的比值 $C_A/C_F$。
• 将目标量应用于规范群 $G = G_{\text{cover}}/D$，其中 $G_{\text{cover}}$ 为单李群与 $\mathbb{R}^J$ 的乘积，$D$ 为离散中心子群。
• 将同一原理扩展至不同时空维度 $d$ 下的洛伦兹群与庞加莱群，表明 $d=4$ 时目标量达到最大值。
• 利用该原理论证标准模型中希格斯与费米子表示为该判据下可能的最小表示。
• 推测性地将该框架扩展，以表明规范变换的全群与广义相对论类几何可能由此最小表示判据所涌现。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何标准模型规范群 $S(U(2)\times U(3))$ 在所有可能的规范群中被唯一选出？
• RQ2 为何实验观测的时空维度 $d=4$ 与用于选择规范群的目标量达到最大值？
• RQ3 已知的希格斯玻色子与手征费米子表示是否为该原理下的最小可能表示？
• RQ4 该原理能否从单一统一判据解释规范对称性与时空维度的起源？
• RQ5 该框架是否预测在普朗克尺度下 gauge 耦合常数的近似统一，如在 SU(5) GUT 中所示？

主要发现

• 目标量——定义为 $ \left( \prod_i (C_A/C_F)^{d_i} \cdot \prod_j (e_A^2/e_F^2) \right)^{1/d_G} $——在标准模型规范群 $S(U(2)\times U(3))$ 处达到最大值，唯一地选中该群。
• 当该目标量应用于不同时空维度下的洛伦兹群或庞加莱群时，其峰值出现在 $d=4$，从而预测了观测到的时空维度。
• 希格斯玻色子在 $S(U(2)\times U(3))$ 上变换于基本表示，这是在 SRP 下可能的最小非平凡表示，确认了其最小性。
• 标准模型中费米子家族的手征表示与该原理下可能的最小表示一致，尤其在结合异常抵消约束时更为明显。
• 该原理表明，规范变换的全群以及可能的广义相对论类几何，可能由此最小表示判据所涌现。
• 该框架暗示，基于主导的小表示与酉群上的自然测度，可能在普朗克尺度下实现近似 SU(5) 的规范耦合统一。