[论文解读] Small Space Stream Summary for Matroid Center

Sagar Kale|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

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一句话总结

本论文提出了首个用于拟阵中心问题及其异常值变体的单遍流算法，实现了 (7+ε)-近似度，空间复杂度为 O(r² log(1/ε)/ε)，异常值版本的近似度为 (15+ε)。论文建立了优于 ∆-近似度的随机单遍流算法所需空间的 Ω(r²) 下界，揭示了拟阵中心与 k-中心在流处理模型中存在二次方差距，并通过流摘要和流拉伸技术，设计出高效的两遍算法，实现了更优的近似比。

ABSTRACT

In the matroid center problem, which generalizes the $k$-center problem, we need to pick a set of centers that is an independent set of a matroid with rank $r$. We study this problem in streaming, where elements of the ground set arrive in the stream. We first show that any randomized one-pass streaming algorithm that computes a better than $Δ$-approximation for partition-matroid center must use $Ω(r^2)$ bits of space, where $Δ$ is the aspect ratio of the metric and can be arbitrarily large. This shows a quadratic separation between matroid center and $k$-center, for which the Doubling algorithm gives an $8$-approximation using $O(k)$-space and one pass. To complement this, we give a one-pass algorithm for matroid center that stores at most $O(r^2\log(1/\varepsilon)/\varepsilon)$ points (viz., stream summary) among which a $(7+\varepsilon)$-approximate solution exists, which can be found by brute force, or a $(17+\varepsilon)$-approximation can be found with an efficient algorithm. If we are allowed a second pass, we can compute a $(3+\varepsilon)$-approximation efficiently; this also achieves almost the known-best approximation ratio (of $3+\varepsilon$) with total running time of $O((nr + r^{3.5})\log(1/\varepsilon)/\varepsilon + r^2(\log Δ)/\varepsilon)$, where $n$ is the number of input points. We also consider the problem of matroid center with $z$ outliers and give a one-pass algorithm that outputs a set of $O((r^2+rz)\log(1/\varepsilon)/\varepsilon)$ points that contains a $(15+\varepsilon)$-approximate solution. Our techniques extend to knapsack center and knapsack center with outliers in a straightforward way, and we get algorithms that use space linear in the size of a largest feasible set (as opposed to quadratic space for matroid center).

研究动机与目标

• 设计拟阵中心问题的高效单遍与两遍流算法，使用次线性空间。
• 为随机单遍流算法在拟阵中心问题上的空间复杂度建立强下界。
• 将框架扩展至拟阵中心问题的 z 个异常值变体及背包中心变体。
• 在最小空间和高效计算下，实现接近已知离线最优解 (3+ε) 的近似比。
• 证明在流处理模型中，拟阵约束会显著增加空间需求，相较于 k-中心问题。

提出的方法

• 使用流拉伸技术，通过维护多个具有递增阈值的候选解来减少空间使用。
• 维护一个包含 O(r² log(1/ε)/ε) 个点的流摘要，其中包含一个 (7+ε)-近似解。
• 在摘要上进行暴力搜索以实现 (7+ε)-近似度，或使用高效算法实现 (17+ε)-近似度。
• 采用两遍方法，结合摘要和拟阵独立性检查，高效计算出 (3+ε)-近似解。
• 将技术扩展至背包中心及背包中心异常值问题，实现空间复杂度与 r 线性相关（而非 r²），优于拟阵中心问题。
• 采用类似倍增的阈值策略，通过活动与非活动副本处理未知最优代价。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机单遍流算法在拟阵中心问题中实现优于 ∆-近似度的最小空间需求是多少？
• RQ2 能否设计一个单遍流算法，使拟阵中心问题在 r 的次平方空间内实现 (7+ε)-近似度？
• RQ3 在流处理模型中，拟阵中心问题的空间复杂度与 k-中心问题相比如何？
• RQ4 能否将该框架扩展至拟阵中心问题的 z 个异常值变体及背包中心问题，实现相似的近似保证与空间效率？
• RQ5 在两遍处理中，使用次平方空间，拟阵中心问题能达到的最佳近似比是多少？

主要发现

• 任何实现优于 ∆-近似度的随机单遍流算法在拟阵中心问题中，必须使用 Ω(r²) 比特空间，确立了其与 k-中心问题之间的二次方分离。
• 单遍算法使用 O(r² log(1/ε)/ε) 空间，实现 (7+ε)-近似度，通过在摘要上进行暴力搜索。
• 高效的单遍算法使用相同空间，实现 (17+ε)-近似度，避免了暴力搜索。
• 两遍算法在总时间 O((nr + r³.⁵)log(1/ε)/ε + r² log∆/ε) 和空间 O(r² log(1/ε)/ε) 内，计算出 (3+ε)-近似解。
• 对于拟阵中心问题的 z 个异常值版本，单遍算法存储 O((r² + rz)log(1/ε)/ε) 个点，通过暴力搜索实现 (15+ε)-近似度，或通过高效计算实现 (51+ε)-近似度。
• 该框架可扩展至背包中心问题，将空间复杂度从 O(r²) 降低至 O(r)，同时保持相同的近似比。