[论文解读] Small Strong Epsilon Nets

Pradeesha Ashok, Azmi, Umair+1 more|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Aug 14, 2012

Optics and Image Analysis被引用 6

一句话总结

本文引入并分析了几何族（包括轴对齐矩形、半空间和 $\mathbb{R}^d$ 中的圆）的小型强 $\epsilon$-网。研究证明了轴对齐长方体存在强中心点，并给出了 $\epsilon_i^\mathcal{S}$ 的紧致上下界，即针对 $\mathcal{S}$ 为矩形、半空间或圆时，使 $P$ 的 $i$ 元子集构成 $\epsilon$-网的最小 $\epsilon$ 值。研究发现 $\epsilon_i^\mathcal{R} \geq \frac{1}{i}$ 对于 $i \geq 4$ 成立，且 $\epsilon_i^\mathcal{D} \geq \frac{1}{i}$ 对于 $i \geq 2$ 成立。主要贡献在于对自然几何族的小型强 $\epsilon$-网进行了系统研究，并给出了精确的边界。

ABSTRACT

Let P be a set of n points in $\mathbb{R}^d$. A point x is said to be a centerpoint of P if x is contained in every convex object that contains more than $dn\over d+1$ points of P. We call a point x a strong centerpoint for a family of objects $\mathcal{C}$ if $x \in P$ is contained in every object $C \in \mathcal{C}$ that contains more than a constant fraction of points of P. A strong centerpoint does not exist even for halfspaces in $\mathbb{R}^2$. We prove that a strong centerpoint exists for axis-parallel boxes in $\mathbb{R}^d$ and give exact bounds. We then extend this to small strong $ε$-nets in the plane and prove upper and lower bounds for $ε_i^\mathcal{S}$ where $\mathcal{S}$ is the family of axis-parallel rectangles, halfspaces and disks. Here $ε_i^\mathcal{S}$ represents the smallest real number in $[0,1]$ such that there exists an $ε_i^\mathcal{S}$-net of size i with respect to $\mathcal{S}$.

研究动机与目标

• 研究强 $\epsilon$-网的存在性与边界，其中网必须是点集 $P$ 的子集，针对轴对齐矩形、半空间和圆等几何族。
• 确定最小的 $\epsilon$ 值，记为 $\epsilon_i^\mathcal{S}$，使得 $P$ 的 $i$ 点子集能构成相对于几何对象族 $\mathcal{S}$ 的强 $\epsilon$-网。
• 通过要求中心点必须属于 $P$ 来扩展中心点的概念，从而引入强中心点的概念。
• 为较小的 $i$（特别是 $i \leq 3$）提供 $\epsilon_i^\mathcal{S}$ 的紧致上下界，并探讨较大 $i$ 的渐近行为。
• 通过几何与组合论证，证明新的边界，以解决关于小 $i$ 时 $\epsilon_i^\mathcal{S}$ 精确值的开放问题。

提出的方法

• 通过证明对于任意 $n$ 个点的集合，总存在一个属于 $P$ 的点，位于所有包含超过 $\frac{2d-1}{2d}n$ 个点的轴对齐长方体中，从而证明在 $\mathbb{R}^d$ 中轴对齐长方体存在强中心点。
• 利用对称点排列和对平面的划分等几何构造，推导 $\epsilon_i^\mathcal{S}$ 的下界，尤其针对圆和矩形。
• 利用 $i=2$ 和 $i=3$ 的已知边界，通过归纳法证明 $\epsilon_i^\mathcal{D} \geq \frac{1}{i}$ 对于 $i \geq 2$ 成立，利用 $\epsilon_2^\mathcal{D} \geq \frac{1}{2}$ 的事实。
• 构造 $i$ 个互不重叠的轴对齐矩形，每个矩形覆盖圆上连续的 $k$ 个点，表明 $i$ 个点最多能覆盖 $ik$ 个矩形，从而证明 $\epsilon_i^\mathcal{R} \geq \frac{1}{i}$ 对于 $i \geq 4$ 成立。
• 利用对偶性和几何覆盖论证，证明对于任意 $i$ 点集 $Q$，存在一个不包含 $Q$ 但包含 $\frac{n}{i}$ 个点的圆或矩形，从而推出 $\epsilon_i^\mathcal{S} \geq \frac{1}{i}$。
• 借助弱 $\epsilon$-网和 VC 维的已知结果，将边界置于上下文中，并说明在低复杂度几何族中强网的必要性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^d$ 中，轴对齐长方体是否存在强中心点，其中中心点必须是输入点集 $P$ 中的点？
• RQ2 对于 $\mathcal{S}$ 为矩形、半空间或圆的情况，使得存在 $P$ 的 $i$ 点子集与所有包含超过 $\epsilon n$ 个点的 $\mathcal{S}$ 中对象相交的最小 $\epsilon$ 是多少？
• RQ3 能否为小的 $i$（特别是 $i=1,2,3$）建立 $\epsilon_i^\mathcal{S}$ 的紧致上下界？它们与已知的弱 $\epsilon$-网边界相比如何？
• RQ4 $\epsilon_i^\mathcal{R} \geq \frac{1}{i}$ 是否对 $i \geq 4$ 成立？能否通过在圆上构造覆盖 $k$ 个点的组的非重叠矩形来实现该边界？
• RQ5 对于 $i \geq 2$ 的圆，$\epsilon_i^\mathcal{S}$ 的精确值是多少？边界 $\epsilon_i^\mathcal{D} \geq \frac{1}{i}$ 是否取等？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^d$ 中，轴对齐长方体存在强中心点，即每个包含超过 $\frac{2d-1}{2d}n$ 个 $P$ 中点的轴对齐长方体都包含一个属于 $P$ 的点，且该边界是紧致的。
• 在 $\mathbb{R}^2$ 中，轴对齐矩形的 $\epsilon_1^\mathcal{R} = \frac{3}{4}$，即每个包含超过 $\frac{3}{4}n$ 个点的矩形必须包含 $n$ 个点中的一个。
• 在 $\mathbb{R}^2$ 中，半空间的 $\epsilon_1^\mathcal{H} = 1$，表明无法保证 $P$ 中的单个点位于所有包含超过 $n$ 个点的半空间中，因此不存在强中心点。
• 在 $\mathbb{R}^2}$ 中，圆的 $\epsilon_1^\mathcal{D} = \frac{3}{4}$，即每个包含超过 $\frac{3}{4}n$ 个点的圆必须包含 $n$ 个点中的一个。
• 对于 $i=2$，有 $\epsilon_2^\mathcal{R} \geq \frac{5}{9}$ 且 $\epsilon_2^\mathcal{H} \geq \frac{3}{5}$，上界分别为 $\frac{5}{8}$ 和 $\frac{2}{3}$，表明两个点足以击中所有包含超过 $\frac{5}{9}n$ 或 $\frac{3}{5}n$ 个点的矩形或半空间。
• 对于 $i=3$，有 $\epsilon_3^\mathcal{R} \geq \frac{2}{5}$ 且 $\epsilon_3^\mathcal{H} \geq \frac{1}{2}$，上界分别为 $\frac{9}{16}$ 和 $\frac{1}{2}$，表明三个点可构成矩形的强 $\epsilon$-网，且 $\epsilon \geq \frac{2}{5}$。