[论文解读] Small-time local controllability of the bilinear Schr\"odinger equation, despite a quadratic obstruction, thanks to a cubic term

Bournissou, Mégane|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2022

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 16被引用 7

一句话总结

该论文在存在二次漂移障碍的情况下，通过利用非零的三次项在非线性展开中的作用，建立了1D双线性Schrödinger方程在基态附近的小时局部可控制性（STLC）。证明引入了无限维空间中一种新颖的切向量概念，并结合控制变分以主导三次项，同时通过投影中的STLC实现精确校正，借助弱范数估计和Brouwer不动点定理，确保在丢失方向上的误差可忽略不计。

ABSTRACT

We consider a 1D linear Schr{\"o}dinger equation, on a bounded interval, with Dirichlet boundary conditions and bilinear control. We study its controllability around the ground state when the linearized system is not controllable. More precisely, we study to what extent the nonlinear terms of the expansion can recover the directions lost at the first order.In previous works, for any positive integer $n$, assumptions have been formulated under which the quadratic term induces a drift in the nonlinear dynamics, quantified by the $H^{-n}$ norm of the control. This drift is an obstruction to the small-time local controllability (STLC) under a smallness assumption on the controls in regular spaces. In this paper, we prove that for controls small in less regular spaces, the cubic term can recover the controllability lost at the linear level, despite the quadratic drift. The proof is inspired by Sussman's method to prove the sufficiency of the $\mathcal{S}( heta)$ condition for STLC of ODEs. However, it uses a different global strategy relying on a new concept of tangent vector, better adapted to the infinite-dimensional setting of PDEs. Given a target, we first realize the expected motion along the lost direction by using control variations for which the cubic term dominates the quadratic one. Then, we correct the other components exactly, by using a STLC in projection result, with simultaneous estimates of weak norms of the control. These estimates ensure that the new error along the lost direction is negligible, and we conclude with the Brouwer fixed point theorem.

研究动机与目标

• 解决当线性化系统因二次漂移而不可控时，1D双线性Schrödinger方程的可控制性问题。
• 研究高阶非线性项（特别是非零的三次项）是否能恢复在线性层次上丧失的可控制性。
• 提出一种基于改进切向量概念的新型无限维策略，以处理弱控制空间中可控制性的丧失。
• 在控制量在较不规则空间（如H^{-k}范数）中满足小规模假设的条件下，建立STLC，克服二次漂移带来的障碍。
• 构造一个控制函数，通过平衡三次项的主导作用与投影中精确校正，实现目标态转移。

提出的方法

• 提出一种专为无限维PDE设计的新切向量概念，相较于经典ODE方法，更适用于弱控制范数。
• 使用控制变分，使三次项主导二次漂移，从而在一次线性近似下无法控制的方向上实现运动。
• 应用文献[15]中的投影STLC结果，对除丢失方向外的所有分量进行精确校正，同时对控制的弱范数进行同步估计。
• 采用弱范数估计（如H^{-k}范数）以确保校正后在丢失方向上的误差保持可忽略。
• 通过Brouwer不动点定理结合上述方法，证明存在一个控制函数可实现期望的目标态。
• 依赖解析函数与隐函数定理的摄动论证，构造一个偶极矩µ，使其满足所有所需的非退化条件（Hquad, Hcub等）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当线性化系统因二次漂移而不可控时，三次非线性项是否能恢复双线性Schrödinger方程的可控制性？
• RQ2 当控制量在弱且较不规则的空间（如H^{-k}范数）中较小时，尽管存在二次漂移，是否仍可实现小时局部可控制性？
• RQ3 新颖的无限维切向量概念是否能有效处理具有弱控制范数的PDE控制系统中的可控制性丧失问题？
• RQ4 在非线性PDE设置中，如何同时以三次项主导二次漂移，并对其他分量实现精确校正？
• RQ5 偶极矩µ需满足何种条件，才能确保非零三次系数CK存在，同时保持前两个二次系数A1K和A2K为零？

主要发现

• 即使线性化系统因二次漂移而不可控，系统在H^s(0)空间（s ≥ 0）中仍具有小时局部可控制性（E-STLC）。
• 对于在H^{-k}(0,T)范数（如k=1）中较小的控制，可实现可控制性，其正则性低于先前STLC结果所用的H^k范数。
• 三次项CK ≠ 0足以恢复在线性层次上丧失的可控制性，即使A1K = A2K = 0且A3K ≠ 0，后者在二次近似中引起漂移。
• 通过构造性摄动方法，证明了存在一个偶极矩µ ∈ H^11 ∩ H^4_0，满足所有所需的非退化条件（Hreg, Hlin, Hquad, Hcub）。
• 证明表明，由于对控制施加了弱范数估计，校正后在丢失方向上的误差保持可忽略，从而可应用Brouwer不动点定理。
• 本文构造了一个控制函数，通过首先利用三次项主导作用在丢失方向上产生运动，然后通过投影中的STLC精确校正所有其他分量，从而实现目标态转移。