[论文解读] Small values of Lusternik-Schnirelmann and systolic categories for manifolds

Alexander Dranishnikov, Mikhail G. Katz+1 more|ArXiv.org|Jun 12, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用 6

一句话总结

本文证明了每个Lusternik-Schnirelmann（LS）范畴为2的闭连通流形的基本群是自由群，从而证实了Gomez-Larrañaga与Gonzalez-Acuña于1992年提出的猜想。证明方法结合了上同调技术、范畴权理论以及局部系统结构，应用于Systolic范畴与通过Abel-Jacobi映射及纤维的自 linking 类得到的下界。

ABSTRACT

We prove that manifolds of Lusternik-Schnirelmann category 2 necessarily have free fundamental group. We thus settle a 1992 conjecture of Gomez-Larranaga and Gonzalez-Acuna, by generalizing their result in dimension 3, to all higher dimensions. We examine its ramifications in systolic topology, and provide a sufficient condition for ensuring a lower bound of 3 for systolic category.

研究动机与目标

• 解决1992年猜想：闭流形的LS范畴为2时，其基本群必为自由群。
• 在4-流形中建立LS范畴与Systolic范畴之间的联系，尤其通过上同调与几何不变量。
• 通过Abel-Jacobi映射中纤维的自 linking 类，提供Systolic范畴至少为3的充分条件。
• 刻画可实现为具有指定LS范畴与维数的流形的基本群。
• 阐明在LS范畴界背景下，上同调维数、上积长与Systolic不变量之间的关系。

提出的方法

• 运用范畴权理论与局部系数上的上同调，分析LS范畴为2的空间结构。
• 利用Abel-Jacobi映射中纤维的自 linking 类与上同调中的Massey积 $\langle\alpha, \alpha, \beta\rangle \cup \beta$ 之间的对偶性。
• 应用Lescop对Casson-Walker不变量的推广，以检测 $H_{n-3}(M)$ 中非平凡的自 linking。
• 构造涉及最大自由阿贝尔覆叠 $\overline{M}$ 的拉回图，将 $\overline{M}$ 中的纤维同调类与 $M$ 中的 linking 关系联系起来。
• 证明 $\overline{M}$ 中纤维类非零蕴含自 linking 非零，后者又蕴含 $\operatorname{cat_{sys}}(M) \geq 3$。
• 利用Gromov的Systolic不等式对划分 $n = 1 + 1 + (n-2)$ 推导出基于几何数据的Systolic范畴下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $n$-维闭流形（$n \geq 3$）若LS范畴为2，其基本群是否必为自由群？
• RQ2 4-流形的Systolic范畴能否被其LS范畴上界控制？
• RQ3 在何种条件下，Abel-Jacobi映射中纤维的自 linking 类可推出 $\operatorname{cat_{sys}}(M) \geq 3$？
• RQ4 对给定的有限生成群 $\pi$，何时存在闭流形 $M$ 满足 $\pi_1(M) = \pi$ 且 $\operatorname{cat_{LS}}(M) = n$？
• RQ5 对所有 $n > 4$ 的 $n$-流形，若其基本群自由且 $H_2$ 无挠，则不等式 $\operatorname{cat_{LS}}(M) \leq n-2$ 是否恒成立？

主要发现

• 每个LS范畴为2的闭连通流形的基本群为自由群，从而证实了Gomez-Larrañaga与Gonzalez-Acuña于1992年的猜想。
• 若Abel-Jacobi映射中典型纤维的自 linking 类在 $H_{n-3}(M)$ 中非零，则 $\operatorname{cat_{sys}}(M) \geq 3$。
• 对任意有限生成群 $\pi$ 及整数 $k,l \geq 0$，存在闭流形 $M$ 满足 $\pi_1(M) = \pi$，$\dim M = 5 + 2k + l$，且 $\operatorname{cat_{LS}}(M) = 3 + k$。
• 每个闭可定向4-流形均满足 $\operatorname{cat_{sys}}(M) \leq \operatorname{cat_{LS}}(M)$，从而确立了Systolic范畴与LS范畴的比较关系。
• $\overline{M}$ 中纤维类非零蕴含 $M$ 中自 linking 类非零，后者又蕴含 $\operatorname{cat_{sys}}(M) \geq 3$。
• 自 linking 类在符号意义下与上同调类 $\langle\alpha, \alpha, \beta\rangle \cup \beta \in H^3(M)$ 对偶，将几何 linking 与Massey积联系起来。