[论文解读] Small weighted Bergman spaces

José Ángel Peláez|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 34被引用 36

一句话总结

本文研究了由满足双倍条件 $\int_r^1 \omega(s)\,ds \leq C \int_{(1+r)/2}^1 \omega(s)\,ds$ 的径向权 $\omega$ 生成的小加权 Bergman 空间 $A^p_\omega$，该类权属于 $\widehat{\mathcal{D}}$ 类。文章建立了 $q$-Carleson 测度的精确刻画，并为嵌入定理提供了新证明，揭示了当权集中在边界附近时，这些空间表现出向 Hardy 空间 $H^p$ 的过渡现象。

ABSTRACT

This paper is based on the course \lq\lq Weighted Hardy-Bergman spaces q q\, I delivered in the Summer School \lq\lq Complex and Harmonic Analysis and Related Topics q q at the Mekrijärvi research station of University of Eastern Finland, June $2014$. The main purpose of this survey is to present recent progress on the theory of Bergman spaces $A^p_ω$, induced by radial weights $ω$ satisfying the doubling property $\int_r^1ω(s)\,ds\le C\int_{\frac{1+r}{2}}^1ω(s)\,ds$.

研究动机与目标

• 研究满足双倍条件 $\widehat{\mathcal{D}}$ 的径向权生成的加权 Bergman 空间 $A^p_\omega$ 的理论。
• 解决多项式在 $A^p_\omega$ 中是否稠密以及 Bloch 空间 $\mathcal{B}$ 是否连续嵌入 $A^p_\omega$ 的开放问题。
• 对 $\omega \in \widehat{\mathcal{D}}$ 的 $A^p_\omega$ 空间刻画 $q$-Carleson 测度，扩展已知结果。
• 通过 Nevanlinna 计数函数的积分条件，分析复合算子 $C_\varphi$ 在 $A^p_\omega$ 空间上的有界性。
• 澄清当 $\alpha \to -1$ 时，标准 Bergman 空间 $A^p_\alpha$ 向 Hardy 空间 $H^p$ 的过渡现象，特别是对于快速增长的权。

提出的方法

• 使用满足双倍条件 $\int_r^1 \omega(s)\,ds \leq C \int_{(1+r)/2}^1 \omega(s)\,ds$ 的类 $\widehat{\mathcal{D}}$ 径向权来定义小加权 Bergman 空间。
• 应用涉及最大函数 $M_\omega(|f|^\alpha)(z) = \sup_{I: z \in S(I)} \frac{1}{\omega(S(I))} \int_{S(I)} |f(\xi)|^\alpha \omega(\xi)\,dA(\xi)$ 的逐点估计，以控制函数的增长。
• 采用 dyadic 分解和单位圆盘的 Whitney 型覆盖，以局部化积分估计。
• 通过在 Carleson 方块 $S(I)$ 和区间 $I_a$ 上的测试条件，推导出精确的 Carleson 测度刻画。
• 使用 Nevanlinna 计数函数 $N_{\varphi,v^\star}(\zeta)$ 和加权积分条件，刻画复合算子 $C_\varphi: A^p_\omega \to A^q_v$ 的有界性。
• 应用对偶性和插值技术，特别是当 $q \geq 2$ 时，将问题约化为函数序列的 $l^{p/q}$-可求和条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些径向权 $\omega$，多项式在 $A^p_\omega$ 中是稠密的？
• RQ2 在何种条件下，Bloch 空间 $\mathcal{B}$ 连续嵌入 $A^p_\omega$？
• RQ3 当 $\omega \in \widehat{\mathcal{D}}$ 时，测度 $\mu$ 成为 $A^p_\omega$ 的 $q$-Carleson 测度的精确条件是什么？
• RQ4 何时复合算子 $C_\varphi: A^p_\omega \to A^q_v$ 有界，其积分条件如何刻画？
• RQ5 具有快速增长权的 Bergman 空间 $A^p_\omega$ 与 Hardy 空间 $H^p$ 在函数论性质上如何关联？

主要发现

• 本文为 $\omega \in \widehat{\mathcal{D}}$ 的 $A^p_\omega$ 空间提供了 $q$-Carleson 测度的精确刻画，表明测度 $\mu$ 是 $q$-Carleson 测度当且仅当对 $q \geq p$，有 $\sup_{I} \frac{\mu(S(I))}{\omega(S(I))} < \infty$。
• 当 $q \geq p$ 时，$q$-Carleson 条件等价于最大函数 $M_\omega(|f|^q)$ 在 Carleson 方块上的一致有界性。
• 复合算子 $C_\varphi: A^p_\omega \to A^q_v$ 的有界性由积分 $\int_{\mathbb{D}} \left( \frac{1}{(1-|z|)^2} \int_{\Delta(z,s)} \frac{N_{\varphi,v^\star}(\zeta)}{\omega^\star(\zeta)} \, dA(\zeta) \right)^{p/(p-q)} \omega(z)\,dA(z) < \infty$ 的有限性所刻画。
• 对 $q \geq p$ 的 Carleson 测度刻画的证明采用了与 [50] 不同的方法，依赖于 [49, 第二章] 的技巧和涉及最大函数的逐点估计。
• 本文表明，对于 $\omega \in \mathcal{R}$（$\widehat{\mathcal{D}}$ 的子类），序列 $\left\{ \frac{\int_{\Delta(z_j,r)} N_{\varphi,v^\star}(\zeta)\,dA(\zeta)}{(\omega(\Delta(z_j,\epsilon)))^{q/p} (1-|z_j|^2)^2} \right\}$ 属于 $l^{p/q}$，这蕴含了所需的可求和条件。
• 从 $A^p_\alpha$ 到 $H^p$ 的过渡现象得到澄清：在 $\widehat{\mathcal{D}}$ 中具有快速增长权的空间比任何标准 $A^p_\alpha$ 更‘接近’ $H^p$，这由精确的生长估计 $M_p(r,f) \lesssim \|f\|_{\mathcal{B}} \left( \log \frac{e}{1-r} \right)^{p/2}$ 所表明。