[论文解读] Smaller parameters for vertex cover kernelization

Eva-Maria C. Hols, Stefan Kratsch|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用 3

一句话总结

本论文通过基于对d-准森林、d-准二分图和d-准整数图的模量的结构参数，提出了顶点覆盖问题的多项式核化方法。它建立了最小阻塞集的紧致上界（d-准森林和d-准二分图中大小≤ d+2，d-准整数图中大小≤ 2d+2），从而分别得到O(|X|^{3d+9})和O(|X|^{2d+3})的核大小，并给出了匹配的下界，推广了先前的结果，并统一了多个核化框架。

ABSTRACT

We revisit the topic of polynomial kernels for Vertex Cover relative to structural parameters. Our starting point is a recent paper due to Fomin and Strømme [WG 2016] who gave a kernel with $\mathcal{O}(|X|^{12})$ vertices when $X$ is a vertex set such that each connected component of $G-X$ contains at most one cycle, i.e., $X$ is a modulator to a pseudoforest. We strongly generalize this result by using modulators to $d$-quasi-forests, i.e., graphs where each connected component has a feedback vertex set of size at most $d$, and obtain kernels with $\mathcal{O}(|X|^{3d+9})$ vertices. Our result relies on proving that minimal blocking sets in a $d$-quasi-forest have size at most $d+2$. This bound is tight and there is a related lower bound of $\mathcal{O}(|X|^{d+2-ε})$ on the bit size of kernels. In fact, we also get bounds for minimal blocking sets of more general graph classes: For $d$-quasi-bipartite graphs, where each connected component can be made bipartite by deleting at most $d$ vertices, we get the same tight bound of $d+2$ vertices. For graphs whose connected components each have a vertex cover of cost at most $d$ more than the best fractional vertex cover, which we call $d$-quasi-integral, we show that minimal blocking sets have size at most $2d+2$, which is also tight. Combined with existing randomized polynomial kernelizations this leads to randomized polynomial kernelizations for modulators to $d$-quasi-bipartite and $d$-quasi-integral graphs. There are lower bounds of $\mathcal{O}(|X|^{d+2-ε})$ and $\mathcal{O}(|X|^{2d+2-ε})$ for the bit size of such kernels.

研究动机与目标

• 通过引入d-准森林、d-准二分图和d-准整数图作为结构参数，将现有的顶点覆盖多项式核化结果从对森林和伪森林的模量推广到更一般的图类。
• 在这些图类中建立最小阻塞集大小的紧致上界，这些上界对于核大小的保证至关重要。
• 统一并扩展先前关于反馈顶点集、度有界的模量以及分数顶点覆盖最优值之上的参数化下顶点覆盖的核化结果。
• 证明核大小的匹配下界，表明在标准复杂性假设下，所推导出的核大小在渐近意义上是最优的。

提出的方法

• 将d-准森林定义为每个连通分量的反馈顶点集大小至多为d的图，类似地定义d-准二分图和d-准整数图。
• 利用图的结构性质和独立集的界，证明d-准森林和d-准二分图中最小阻塞集的大小至多为d+2，而d-准整数图中至多为2d+2。
• 使用规约规则将输入图转化为等价实例，使得G−X的连通分量数至多为|X|^{2d+3}，并利用d-准整数图中最大独立集的多项式时间计算。
• 将现有的关于分数规划松弛之上的顶点覆盖的随机化多项式核化方法应用于转换后的实例，确保核大小关于|X|是多项式关系。
• 基于最小阻塞集的有界大小，建立d-准森林的核大小为O(|X|^{3d+9})，d-准整数图的核大小为O(|X|^{2d+3})。
• 在假设NP ⊈ coNP/poly的前提下，推导出核大小的匹配下界O(|X|^{d+2−ε})和O(|X|^{2d+2−ε})，表明核大小在渐近意义上是最优的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将顶点覆盖的多项式核化从对森林和伪森林的模量推广到更一般的图类？
• RQ2 d-准森林中最小阻塞集的最大大小是多少，这如何影响核大小？
• RQ3 d-准森林的模量框架能否推广到d-准二分图和d-准整数图，同时保持多项式核大小？
• RQ4 所推导出的核大小是否渐近最优，核大小在|X|参数下的下界是什么？
• RQ5 能否利用这些新图类，将现有的关于分数顶点覆盖之上的参数化核化技术统一到一个统一框架下？

主要发现

• d-准森林和d-准二分图中最小阻塞集的大小至多为d+2，且该界是紧致的，因为这些类中存在大小为d+2的团作为反例。
• d-准整数图中最小阻塞集的大小至多为2d+2，且该界也是紧致的，大小为2d+2的团可作为匹配的下界构造。
• 对于参数化为d-准森林模量的顶点覆盖，实现了大小为O(|X|^{3d+9})的多项式核，推广了先前关于对森林和伪森林模量的结果。
• 对于d-准整数图模量，获得了大小为O(|X|^{2d+3})的核，该结果涵盖了基于反馈顶点集、最大度至多为2以及分数顶点覆盖最优值之上的参数化的核化。
• 在假设NP ⊈ coNP/poly的前提下，证明了核大小的匹配下界O(|X|^{d+2−ε})和O(|X|^{2d+2−ε})，表明核大小在渐近意义上是最优的。
• 结果统一并扩展了多个现有的核化框架，包括对森林的模量、度有界图以及分数规划松弛之上的参数化核化。