[论文解读] Smallest defining sets of super-simple 2 - (v, 4,1) directed designs

Nasrin Soltankhah, Farzane Amirzade|arXiv (Cornell University)|May 29, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明了超简单 2-(v,4,1) 有向设计存在的充要条件是 v ≡ 1 (mod 3)，但 v=7 除外。对于所有满足该条件且 v > 7 的 v，存在一个超简单 2-(v,4,1)DD，其最小定义集包含至少一半的区块；对于所有 ε > 0 且足够大的 v，此类设计存在，其最小定义集包含的区块数至少为 (5/8 − c/v)|ℬ|，其中 c 为某个合适的常数。

ABSTRACT

A $2-(v,k,λ)$ directed design (or simply a $2-(v,k,λ)DD$) is super-simple if its underlying $2-(v,k,2λ)BIBD$ is super-simple, that is, any two blocks of the $BIBD$ intersect in at most two points. A $2-(v,k,λ)DD$ is simple if its underlying $2-(v,k,2λ)BIBD$ is simple, that is, it has no repeated blocks. A set of blocks which is a subset of a unique $2-(v,k,λ)DD$ is said to be a defining set of the directed design. A smallest defining set, is a defining set which has smallest cardinality. In this paper simultaneously we show that the necessary and sufficient condition for the existence of a super-simple $2-(v,4,1)DD$ is $v\equiv1\ ({ m mod}\ 3)$ and for these values except $v=7$, there exists a super-simple $2-(v,4,1)DD$ whose smallest defining sets have at least a half of the blocks. And also for all $ε> 0$ there exists $v_0(ε)$ such that for all admissible $v>v_0$ there exists a $2-(v,4,1)DD$ whose smallest defining sets have at least $(5/8-\frac{c}{v})\mid \mathcal{B}\mid$ blocks, for suitable positive constant c.

研究动机与目标

• 确定超简单 2-(v,4,1) 有向设计存在的必要与充分条件。
• 建立此类设计中最小定义集大小的下界。
• 证明对于所有满足条件的 v ≡ 1 (mod 3)，且 v > 7，最小定义集包含至少一半的区块。
• 证明对于所有 ε > 0 和足够大的满足条件的 v，存在一个 2-(v,4,1)DD，其最小定义集大小至少为 (5/8 − c/v)|ℬ|，其中 c 为某个常数。
• 使用群可除设计和已知子设计的替换引理构造此类设计。

提出的方法

• 使用替换引理，通过在群可除设计（GDD）中用更小的有向设计替换区块和群，构造超简单 2-(v,4,1)DD。
• 构造一种类型为 (2^4) 的 4-DGDD，其 f ≥ 5/8，作为具有高定义集密度的基础组件。
• 应用类型为 (6^k)、(2^{3k+1})、(6^k 9^1) 和 (2^{3k} 5^1) 的 4-GDD 作为递归构造的底层框架。
• 将大小为 6 或 9 的群替换为 2-(13,4,1)DD，将大小为 2 的群替换为 2-(4,4,1)DD，每种替换的定义集密度 f ≥ 1/2。
• 将区块替换为类型为 (2^4) 的 4-DGDD，其 f ≥ 5/8，以确保定义集大小的高下界。
• 对结果定义集密度进行渐近分析，得出当 v 较大时，f ≥ 5/8 − c/v 的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 超简单 2-(v,4,1) 有向设计存在的必要与充分条件是什么？
• RQ2 对于哪些 v 值，存在一个超简单 2-(v,4,1)DD，其最小定义集大小至少为总区块数的一半？
• RQ3 对于所有足够大的满足条件的 v，此类设计的最小定义集大小是否可被一个总区块数的常数分数下界控制？
• RQ4 随着 v 增大，2-(v,4,1)DD 的最小定义集中区块比例的渐近下界是什么？
• RQ5 如何利用 GDD 和子设计的递归构造方法，实现对定义集大小的高下界？

主要发现

• 超简单 2-(v,4,1)DD 存在的充要条件是 v ≡ 1 (mod 3)，但 v = 7 除外。
• 对于所有满足 v ≡ 1 (mod 3) 且 v > 7 的 v，存在一个超简单 2-(v,4,1)DD，其最小定义集包含至少一半的区块。
• 对于所有 ε > 0 和所有足够大的满足条件的 v，存在一个 2-(v,4,1)DD，其最小定义集大小至少为 (5/8 − c/v)|ℬ|，其中 c 为某个合适的正数常数。
• 该构造依赖于一种类型为 (2^4) 且 f ≥ 5/8 的 4-DGDD，其任何定义集至少需要 5 个区块。
• 当 v ≡ 1 (mod 12) 且 v ≥ 61 时，有 f ≥ 5/8 − 13/(8v)。
• 当 v ≡ 4 (mod 12) 且 v ≥ 64 时，有 f ≥ 5/8 − 1/(2v)，并对 v ≡ 7 和 10 (mod 12) 建立了类似界限。