[论文解读] Smarandache Rings

W. B. Vasantha Kandasamy|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2008

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用 28

一句话总结

本文引入了Smarandache环，一种新型代数结构，其定义为：一个环中包含一个具有更强代数性质的真子集。具体而言，S环I包含一个在诱导运算下构成域的真子集，而S环II则具有在加法和乘法下封闭且满足零积性质的子集。其主要贡献在于对这些混合代数系统的形式化，以建模具有混合性质的现实世界结构。

ABSTRACT

Generally, in any human field, a Smarandache Structure on a set A means a weak structure W on A such that there exists a proper subset B which is embedded with a stronger structure S. By proper subset one understands a set included in A, different from the empty set, from the unit element if any, and from A. These types of structures occur in our everyday's life thats why we study them in this book. Thus, as two particular cases: A Smarandache Ring of level I (S-ring I) is a ring R that contains a proper subset that is a field with respect to the operations induced. A Smarandache Ring of level II (S-ring II) is a ring R that contains a proper subset A that verifies: A is an additive abelian group; A is a semigroup under multiplication, for a, b belonging to A, a . b = 0 if and only if a = 0 or b = 0.

研究动机与目标

• 形式化一类包含内嵌更强代数子集的新型环。
• 根据其真子集的结构，定义并区分Smarandache环的两个层次。
• 证明此类结构的存在性及其在建模具有混合代数性质的现实世界系统中的相关性。
• 为研究具有部分但更强子结构的环提供基础。

提出的方法

• 将Smarandache环第I级（S环I）定义为：一个环R，其包含一个真子集，该子集在环的诱导运算下构成一个域。
• 将Smarandache环第II级（S环II）定义为：一个环R，其包含一个真子集A，该子集在加法下构成阿贝尔群，在乘法下构成半群，且满足零积性质。
• 使用“真子集”概念，以确保内嵌结构是非平凡的，且与整个环有本质区别。
• 对全集R应用标准环公理，而仅在子集上验证更强的公理。
• 分析R上较弱的环结构与真子集上较强的子结构之间的相互作用。
• 通过日常情境中混合代数行为共存的实例，说明此类结构的相关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个环需满足何种条件，才能在其内包含一个真子集，使其在诱导运算下构成域？
• RQ2 一个环如何包含一个在加法和乘法下封闭且满足零积性质的真子集，但该子集不一定是域？
• RQ3 在一个环中存在具有更强代数结构的真子集，其意味着什么？
• RQ4 Smarandache环第I级与第II级在代数性质和应用方面有何不同？
• RQ5 这些结构如何建模具有混合或混合代数行为的现实世界现象？

主要发现

• 当一个环包含一个在环运算下构成域的真子集时，Smarandache环第I级存在，且该子集在内部满足所有域公理。
• 当一个环包含一个在加法下构成阿贝尔群、在乘法下构成半群且满足零积性质的真子集时，Smarandache环第II级存在。
• 在这两种情况下，真子集严格小于整个环，且排除了空集或单位元的平凡情况。
• 此类结构的存在表明，环可以内嵌更强的代数系统，如域或零积半群。
• 这些环为建模部分代数封闭性与更强性质共存的系统提供了正式框架。
• 本文建立了基础定义，为数学及应用领域中对混合代数系统的进一步研究提供了可能。