[论文解读] Smith ideals of structured ring spectra

Mark Hovey|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文将 Smith 理想定义为对称单子张量模型范畴的箭头范畴中的幺半群，为结构化环谱中的理想提供了同伦论框架。在稳定情形下，它建立了 Smith 理想的模型范畴与幺半群同态的模型范畴之间的 Quillen 等价性，表明 Smith 理想编码了与环同态相同的同伦信息。

ABSTRACT

Pursuing ideas of Jeff Smith, we develop a homotopy theory of ideals of monoids in a symmetric monoidal model category. This includes Smith ideals of structured ring spectra and of differential graded algebras. Such Smith ideals are NOT subobjects, and as a result the theory seems to require us to consider all Smith ideals of all monoids simultaneously, rather then restricting to the Smith ideals of one particular monoid. However, we can take a quotient by a Smith ideal and get a monoid homomorphism. In the stable case, we show that this construction is part of a Quillen equivalence between a model category of Smith ideals and a model category of monoid homomorphisms.

研究动机与目标

• 为结构化环谱开发理想的同伦理论，因为传统基于元素的理想在环谱中因缺乏元素而失效。
• 将 Smith 理想定义为配备推出积单子结构的箭头范畴中的幺半群，以捕捉理想的核心同伦本质。
• 利用箭头范畴上的投影与注入模型结构，构建 Smith 理想与幺半群同态的模型范畴。
• 证明在稳定情形下，从 Smith 理想到幺半群同态的余核函子构成 Quillen 等价性，建立同伦对偶性。
• 通过将理想视为满足单子条件的态射而非子对象，解决环谱中无法通过子对象定义理想的问题。

提出的方法

• 将 Smith 理想定义为在推出积单子结构下，箭头范畴 $\operatorname{Arr}\mathcal{C}$ 中的幺半群。
• 在 $\operatorname{Arr}\mathcal{C}$ 上构造两种模型结构：与张量积相容的投影结构，以及与推出积相容的注入结构。
• 使用余核函子将 Smith 理想映射到幺半群同态，证明其为左 Quillen 函子。
• 证明在 Smith 理想的模型范畴中，对纤维化逼近是计算同伦意义下商的必要条件。
• 应用超限归纳法与纯类技术，证明在 $\operatorname{Arr}\mathcal{C}$ 的投影模型结构中，纤维化模是平坦的，前提是生成纤维化映射的定义域与值域是平坦的。
• 在稳定情形下，利用余核作为左 Quillen 函子，建立 Smith 理想的模型范畴与幺半群同态的模型范畴之间的 Quillen 等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当环谱缺乏元素时，如何定义其理想？经典子对象的概念由什么取代？
• RQ2 箭头范畴 $\operatorname{Arr}\mathcal{C}$ 上何种模型范畴结构可支持 Smith 理想的同伦理论？
• RQ3 在稳定设定下，从 Smith 理想到幺半群同态的余核函子是否构成 Quillen 等价性？
• RQ4 能否通过 Smith 理想模型范畴中的纤维化逼近来捕捉环谱关于 Smith 理想的商的同伦类型？
• RQ5 在稳定情形下，Smith 理想与幺半群同态之间存在何种关系？这是否导致 Quillen 等价性？

主要发现

• Smith 理想被定义为在推出积单子结构下，箭头范畴 $\operatorname{Arr}\mathcal{C}$ 中的幺半群，推广了环谱中理想的概念。
• Smith 理想的余核是一个环谱，且余核函子是从 Smith 理想的模型范畴到幺半群同态的模型范畴的左 Quillen 函子。
• 在稳定情形下，余核函子在 Smith 理想的模型范畴与幺半群同态的模型范畴之间诱导出 Quillen 等价性。
• 为了计算具有同伦意义的商，Smith 理想的模型范畴中必须使用纤维化逼近，因为 $R$ 不一定是纤维化的。
• 在 $\operatorname{Arr}\mathcal{C}$ 的投影模型结构中，若生成纤维化映射的定义域与值域是平坦的，且纯类条件成立，则纤维化 $R$-模是平坦的。
• 该理论允许任意结构化环谱 $R$ 通过弱等价实现为球谱 $S$ 关于 Smith 理想的商，这是由于构造中可自由添加同伦等价于点的环。