[论文解读] Smooth and F--smooth systems

Josef Janyška, Marco Modugno|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 28

一句话总结

本文通过使用弗罗利彻的F–光滑空间，引入了F–光滑的光滑映射、截面与联络系统，以推广微分几何中的经典几何构造。通过以F–光滑空间替代有限维流形，该框架在不依赖传统无穷维流形理论的前提下，实现了无穷维构造，从而在广义光滑设定下统一处理了普遍联络与切丛延拓。

ABSTRACT

We review the geometric theory of \emp{smooth systems of smooth maps}, of \emp{smooth systems of smooth sections} of a smooth double fibred manifold and of \emp{smooth systems of smooth connections} of a smooth fibred manifold. Moreover, after reviewing the concept of \emp{F-smooth space} due to A. Frölicher, we discuss the \emp{F-smooth systems of smooth maps}, the \emp{F-smooth systems of fibrewisely smooth sections} of a smooth double fibred manifold, the \emp{F-smooth systems of fibrewisely smooth connections} of a smooth fibred manifold and of \emp{F-smooth connections} of an F-smooth system of fibrewisely smooth sections.

研究动机与目标

• 通过采用F–光滑空间，将光滑映射、截面与联络系统的理论推广至有限维流形之外。
• 提供一个几何框架，用于处理普遍联络与切丛延拓，避免依赖李群结构或标准无穷维流形。
• 将截面与联络系统的概念扩展至F–光滑参数空间，从而在数学物理中实现新构造。
• 基于通过曲线定义的光滑性，建立F–光滑映射、截面与联络系统的统一理论。

提出的方法

• 以弗罗利彻的F–光滑空间为基础，该空间通过光滑曲线族及其光滑重新参数化定义，作为广义光滑性的基础。
• 将光滑映射系统定义为三元组 (S, ε)，其中 S 为F–光滑空间，ε 为到目标流形的纤维化态射。
• 对系统应用切丛延拓：Tε、T₁ε 与 T₂ε，分别捕捉关于 S 与 M 的不同偏导数。
• 当 S 不是有限维流形时，通过间接方法构造系统的光滑切丛延拓。
• 引入双纤维化流形的F–光滑截面系统与此类系统上的F–光滑联络。
• 建立系统与其切丛延拓之间的对应关系，在F–光滑框架下保持光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过F–光滑空间将光滑映射系统的理论推广至有限维流形之外？
• RQ2 F–光滑性在定义不依赖结构群或李代数的截面与联络系统中起什么作用？
• RQ3 在F–光滑设定下，系统的切丛延拓行为如何？其几何意义是什么？
• RQ4 在F–光滑框架下，是否可以内在地恢复系统的普遍联络，而无需依赖群对称性？
• RQ5 在F–光滑系统中，不同类型的切丛延拓（Tε、T₁ε、T₂ε）之间存在何种关系？

主要发现

• 本文确立了F–光滑空间可在不依赖有限维性或标准流形结构的前提下，实现光滑映射、截面与联络系统的构造。
• F–光滑系统 (S, ε) 的切丛延拓产生三个不同的光滑系统：(T S, Tε)、(T S, T₁ε) 与 (S, T₂ε)，分别捕捉不同的导数结构。
• 系统的单射性并不蕴含其切丛延拓的单射性，凸显了F–光滑设定下的非平凡行为。
• 该框架使得无需显式引用结构群或李代数，即可定义普遍联络与F–光滑联络。
• 该理论为数学物理中的应用提供了基础，例如定义上量子联络与作为截面量子丛上联络的薛定谔算符。