[论文解读] Smooth and mixed Hessian valuations on convex functions

Jonas Knoerr|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通过在凸函数的微分循环上积分微分形式，引入了有限值凸函数上的光滑与混合Hessian取值。研究证明，这些取值的空间在所有对偶上-平移不变取值的空间中是稠密的，从而在凸函数的背景下实现了McMullen猜想的功能分析实现。

ABSTRACT

We construct valuations on the space of finite-valued convex functions using integration of differential forms over the differential cycle associated to a convex function. We describe the kernel of this procedure and show that the intersection of this space of smooth valuations with the space of all dually epi-translation invariant valuations on convex functions is dense in the latter. We also show that the same holds true for the space spanned by mixed Hessian valuations. This is a version of McMullen's conjecture for valuations on convex functions.

研究动机与目标

• 通过微分几何方法在有限值凸函数空间上构造新的取值。
• 基于在微分循环上积分的取值构造过程，刻画其核。
• 研究光滑Hessian取值在凸函数上所有对偶上-平移不变取值类中的稠密性。
• 将分析扩展至混合Hessian取值，并建立其在相同空间中的稠密性。
• 在凸函数的背景下，为McMullen猜想提供一个功能分析实现。

提出的方法

• 通过在与凸函数相关的微分循环上积分微分形式来定义取值。
• 通过微分循环的几何与分析性质，识别取值映射的核。
• 应用对偶性与上-平移不变性，刻画取值的环境空间。
• 运用功能分析技术，建立在对偶上-平移不变取值空间中的稠密性结果。
• 通过光滑Hessian取值映射的多重线性延拓构造混合Hessian取值。
• 证明光滑与混合Hessian取值空间在所有对偶上-平移不变取值空间中的稠密性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地利用微分几何数据在凸函数上构造取值？
• RQ2 通过在微分循环上积分定义的取值映射的核是什么？
• RQ3 光滑Hessian取值空间在凸函数上所有对偶上-平移不变取值空间中是否稠密？
• RQ4 混合Hessian取值张成的空间是否也具有相同的稠密性？
• RQ5 该构造在凸函数背景下在多大程度上实现了McMullen猜想？

主要发现

• 通过在微分循环上积分构造的取值在有限值凸函数空间上定义了一个良态映射。
• 该取值映射的核通过微分循环的性质从几何上被刻画。
• 光滑Hessian取值空间在凸函数上所有对偶上-平移不变取值空间中是稠密的。
• 由混合Hessian取值张成的空间在同一对偶上-平移不变取值空间中也是稠密的。
• 这些稠密性结果为凸函数上取值的McMullen猜想提供了功能分析实现。
• 研究结果在凸函数的微分几何与取值的代数结构之间建立了桥梁。