[论文解读] Smooth conjugacy of Anosov diffeomorphisms on higher dimensional tori

Andrey Gogolev|ArXiv.org|Apr 24, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了在更高维环面（$d \geq 3$）上、与不可约双曲自同构（具有单重实特征值谱）$C^1$-接近的阿诺索夫微分同胚之间共轭的 $C^{1+\nu}$ 正则性，这些微分同胚具有相同的周期特征值数据。在中间叶层满足传递性假设的前提下，本文证明此类共轭比 Hölder 连续更光滑，从而解决了高维阿诺索夫系统光滑共轭理论中长期存在的问题。

ABSTRACT

Let $L$ be a hyperbolic automorphism of $\mathbb T^d$, $d\ge3$. We study the smooth conjugacy problem in a small $C^1$-neighborhood $\mathcal U$ of $L$. The main result establishes $C^{1+ν}$ regularity of the conjugacy between two Anosov systems with the same periodic eigenvalue data. We assume that these systems are $C^1$-close to an irreducible linear hyperbolic automorphism $L$ with simple real spectrum and that they satisfy a natural transitivity assumption on certain intermediate foliations. We elaborate on the example of de la Llave of two Anosov systems on $\mathbb T^4$ with the same constant periodic eigenvalue data that are only Hölder conjugate. We show that these examples exhaust all possible ways to perturb $C^{1+ν}$ conjugacy class without changing periodic eigenvalue data. Also we generalize these examples to majority of reducible toral automorphisms as well as to certain product diffeomorphisms of $\mathbb T^4$ $C^1$-close to the original example.

研究动机与目标

• 确定在更高维环面上的阿诺索夫微分同胚之间，周期特征值数据的一致性是否意味着光滑共轭。
• 识别在 $C^1$-接近且具有相同周期数据的阿诺索夫系统中，何时存在 $C^{1+\nu}$ 共轭。
• 理解叶层传递性与不变结构在实现超越 Hölder 正则性的光滑共轭中的作用。
• 对线性阿诺索夫自同构的 $C^1$-邻域内 $C^{1+\nu}$ 共轭的所有障碍进行全面分类。
• 将 de la Llave 在 $\mathbb{T}^4$ 上的反例推广，以刻画所有可能的 $C^1$-扰动，这些扰动保持周期数据但不保持光滑共轭。

提出的方法

• 分析在 $\mathbb{T}^d$（$d \geq 3$）上、具有单重实特征值谱和正特征值的双曲自同构 $L$ 的 $C^1$-邻域 $\mathcal{U}$。
• 利用对应于特征值 $\mu_i < \cdots < 1 < \lambda_j$ 的一维分布 $F_i^f$ 和 $E_j^f$ 的不变分解，这些分布唯一地积分成叶层 $U_i^f$ 和 $V_j^f$。
• 通过在中心叶空间 $\mathcal{T}$ 上的因子动力系统 $\tilde{f}$ 使用传递点论证，该系统共轭于 $\mathbb{T}^2$ 上的线性自同构 $B$。
• 通过弱*极限构造不变测度 $\mu$，即 $\mu_n = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} (f^i)_*\eta_0$，其中 $\eta_0$ 沿弱不稳定叶具有与雅可比比值 $\rho(x_0, \cdot)$ 成比例的密度。
• 使用标准 Hopf 论证技术，证明弱不稳定叶层 $W_f^{wu}$ 关于 $\mu$ 的绝对连续性。
• 通过证明共轭 $h$ 保持中间叶层的旗结构，并利用旗结构的归纳法，证明共轭沿 $W_f^{wu}$ 的 $C^{1+\nu}$-光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{T}^d$（$d \geq 3$）上，两个 $C^1$-接近的阿诺索夫微分同胚具有相同周期特征值数据时，其共轭在何种条件下是 $C^{1+\nu}$-光滑的？
• RQ2 de la Llave 在 $\mathbb{T}^4$ 上的反例（其中两个具有相同周期数据的阿诺索夫系统仅是 Hölder 共轭）能否推广到其他线性自同构？
• RQ3 中间叶层上的动力系统的传递性在确保光滑共轭中起什么作用？
• RQ4 在靠近线性阿诺索夫自同构的 $C^1$-共轭类中，是否存在除周期特征值数据之外的其他不变量？
• RQ5 在靠近线性自同构的 $C^1$-邻域中，可约或积形式的阿诺索夫微分同胚如何影响共轭的光滑性？

主要发现

• 在 $\mathbb{T}^d$（$d \geq 3$）上、与不可约双曲自同构 $L$ 的 $C^1$-邻域内，若两个阿诺索夫微分同胚 $f$ 和 $g$ 具有单重实特征值谱和相同的周期特征值数据，并满足中间叶层的传递性假设，则其共轭是 $C^{1+\nu}$-光滑的。
• 本文表明，de la Llave 在 $\mathbb{T}^4$ 上的例子——其中两个具有相同周期数据的阿诺索夫系统仅是 Hölder 共轭——是完备的：所有保持周期数据但破坏 $C^{1+\nu}$ 共轭的扰动在拓扑上等价于该例子。
• 通过构造一个具有绝对连续弱不稳定叶层的传递不变测度 $\mu$，使得 Hopf 论证可应用于证明共轭沿弱不稳定方向的 $C^{1+\nu}$-正则性。
• 共轭保持中间叶层的旗结构 $V_m^f$，该保持性通过传递点论证和中心叶空间上因子动力系统的结构，以归纳法建立。
• 该方法将 de la Llave 的例子推广到一类更广泛的可约环面自同构，以及某些在 $\mathbb{T}^4$ 上 $C^1$-接近原始反例的积微分同胚。
• 关键技术进展在于，在传递性假设下证明了中心横截映射的光滑性，从而使得共轭的 $C^{1+\nu}$-正则性证明中的归纳步骤得以成立。