[论文解读] Smooth Converse Lyapunov-Barrier Theorems for Asymptotic Stability with Safety Constraints and Reach-Avoid-Stay Specifications

Yiming Meng, Yinan Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2020

Formal Methods in Verification被引用 6

一句话总结

本文为具有渐近稳定性与安全约束及可达-避免-保持规范的非线性系统建立了平滑对偶李雅普诺夫-屏障定理。它证明了在整个初始条件集合上存在一个单一的平滑李雅普诺夫函数，该函数同时认证了稳定性和安全性；对于可达-避免-保持特性，使用鲁棒性论证和控制扩展，得到了一个类似但稍弱的结果。

ABSTRACT

Stability and safety are two important aspects in safety-critical control of dynamical systems. It has been a well established fact in control theory that stability properties can be characterized by Lyapunov functions. Reachability properties can also be naturally captured by Lyapunov functions for finite-time stability. Motivated by safety-critical control applications, such as in autonomous systems and robotics, there has been a recent surge of interests in characterizing safety properties using barrier functions. Lyapunov and barrier functions conditions, however, are sometimes viewed as competing objectives. In this paper, we provide a unified theoretical treatment of Lyapunov and barrier functions in terms of converse theorems for stability properties with safety guarantees and reach-avoid-stay type specifications. We show that if a system (modeled as a dynamical system with measurable perturbations) possesses a stability with safety property, then there exists a smooth Lyapunov function to certify such a property. This Lyapunov function is shown to be defined on the entire set of initial conditions from which solutions satisfy this property. A similar but slightly weaker statement is made for reach-avoid-stay specifications. We show by a simple example that the latter statement cannot be strengthened without additional assumptions. We further extend the results for systems with control inputs and prove existence of converse Lyapunov-barrier functions for reach-and-avoid specifications. While the converse Lyapunov-barrier theorems are not constructive, as with classical converse Lyapunov theorems, we believe that the unified necessary and sufficient conditions with a single Lyapunov-barrier function are of theoretical interest and can hopefully shed some light on computational approaches.

研究动机与目标

• 统一非线性动力系统中李雅普诺夫函数与屏障函数方法，以实现稳定性和安全性。
• 填补使用单一李雅普诺夫-屏障函数刻画带安全约束的稳定性的理论空白。
• 将框架扩展至可达-避免-保持规范及带控制输入的系统。
• 利用平滑李雅普诺夫-屏障函数，提供稳定性和安全性的必要与充分条件。
• 为安全关键控制设计中的计算方法奠定理论基础。

提出的方法

• 将具有安全约束的渐近稳定性表述为由定义在整个初始条件集合上的平滑李雅普诺夫函数所认证的性质，该集合是该性质成立的初始条件集合。
• 使用鲁棒性论证将逆定理扩展至可达-避免-保持规范，引入一个紧集 A 和一个包含目标集与安全集的开区域 D。
• 在 D 上定义一个平滑李雅普诺夫函数 V，使其满足包含漂移项与扰动项的耗散不等式：sup_{d∈δ′ℬ} [L_f V(x,d) + L_g V(x)u + V(x)] ≤ 0。
• 引入一个屏障函数 B，使得在安全集 W 上有 B(x) ≥ 0，在不安全集 U 上有 B(x) < 0，且满足 L_f B + L_g B u ≥ 0 以确保前向不变性。
• 在可达-避免-保持可控制性条件下，利用利普希茨控制律 κ 和对扰动的鲁棒性，证明控制李雅普诺夫-屏障函数的存在性。
• 应用控制理论中的逆定理与光滑逼近技术，确保李雅普诺夫函数的 C^∞ 正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一个单一的平滑李雅普诺夫函数同时认证具有可测扰动的非线性系统的渐近稳定性与安全性？
• RQ2 对于可达-避免-保持规范，对偶李雅普诺夫-屏障定理的强度是否与纯稳定性与安全性的版本相当？
• RQ3 在何种条件下可保证带控制输入的系统存在平滑控制李雅普诺夫-屏障函数？
• RQ4 在不增加额外假设的前提下，能否加强可达-避免-保持的逆定理？
• RQ5 李雅普诺夫-屏障函数的理论存在性如何指导安全关键控制中计算构造方法的设计？

主要发现

• 对于具有安全约束的渐近稳定性，存在一个定义在整个初始条件集合上的平滑李雅普诺夫函数，该集合是该性质成立的初始条件集合。
• 对于可达-避免-保持规范，存在一个稍弱的逆定理，且通过反例表明该局限性不可避免。
• 在可达-避免-保持可控制性条件下，即使存在加法型可测扰动，平滑李雅普诺夫-屏障函数的存在性也得到保证。
• 对于带控制输入的系统，只要可达-避免-保持规范是可控制的，就存在控制李雅普诺夫-屏障函数。
• 结果为非构造性，但提供了可指导未来计算方法的必要与充分条件。
• 理论框架通过单一平滑函数统一了稳定性和安全性的认证，避免了先前工作中存在的过度保守条件。