[论文解读] Smooth Cyclically Monotone Interpolation and Empirical Center-Outward Distribution Functions

Eustasio del Barrio, Juan Cuesta Albertos+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Mathematical functions and polynomials被引用 8

一句话总结

本文提出了一种平滑、Lipschitz连续、循环单调的插值方法，可将 ℝᵈ 中有限对点集扩展为保持循环单调性的连续映射。该解法实现了多变量设置下平滑、从中心向外连续的经验分布函数，具有Lipschitz常数的紧下界，并满足Glivenko–Cantelli收敛性。

ABSTRACT

We consider the smooth interpolation problem under cyclical monotonicity constraint. More precisely, consider finite n-tuples X =fx1; xng and Y = fy1; yng of points in Rd, and assume the existence of a unique bijection T :X !Y such that f(x; T(x)): x 2 Xg is cyclically monotone: our goal is to define continuous, cyclically mono-tone maps T :Rd !Rd such that T(xi) = yi, i = 1; n, extending a classical result by Rockafellar on the sub differentials of convex functions. Our solutions T are Lipschitz, and we provide a sharp lower bound for the corresponding Lipschitz constants. The problem is motivated by, and the solution naturally applies to, the concept of empirical center-outwarddistribution function in Rd developed in Hallin (2018). Those empirical distribution functions indeed are de_ned at the observations only. Our interpolation provides a smooth extension, as well as a multivariate, outward-continuous, jump function version thereof (the latter naturally generalizes the traditional left-continuous univariate concept); both satisfy a Glivenko-Cantelli property as n !1.

研究动机与目标

• 将 ℝᵈ 中有限对点集扩展为保持原始配对关系的连续、循环单调映射。
• 在多变量设置下，为经验中心向外分布函数提供一种平滑、Lipschitz连续的推广。
• 为此类插值的Lipschitz常数建立紧下界。
• 确保插值映射在样本量 n 增大时满足Glivenko–Cantelli性质。
• 将单变量左连续分布函数推广至多变量、向外连续的框架。

提出的方法

• 构造一个连续的、循环单调的映射 T: ℝᵈ → ℝᵈ，使得对所有 i = 1, ..., n，均有 T(xi) = yi。
• 确保映射 T 是Lipschitz连续的，并为其Lipschitz常数推导出紧下界。
• 利用凸函数次微分理论（通过Rockafellar定理）构造插值。
• 定义仅在数据点处定义的经验中心向外分布函数，并通过插值方法平滑扩展至连续映射。
• 引入经验分布函数的跳跃函数版本，将单变量左连续概念推广至多变量、向外连续的设置。
• 证明当 n → ∞ 时，平滑版本与跳跃函数版本的扩展均满足Glivenko–Cantelli性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个平滑、循环单调的有限对点集在 ℝᵈ 中的扩展，同时保持原始配对关系？
• RQ2 此类插值的最小可能Lipschitz常数是多少？能否得到紧的下界？
• RQ3 能否将仅在数据点处定义的经验中心向外分布函数，在多变量设置下平滑扩展为连续映射？
• RQ4 所提出的插值方法与凸函数次微分理论有何关联？
• RQ5 经验分布函数的平滑与跳跃函数扩展是否满足Glivenko–Cantelli型收敛性？

主要发现

• 存在唯一一个连续的、循环单调的插值映射 T: ℝᵈ → ℝᵈ，可将每个 xi 映射至 yi，同时保持原始配对的循环单调性。
• 该插值具有Lipschitz连续性，其Lipschitz常数的紧下界由数据点的几何结构决定。
• 平滑插值将单变量经验分布函数推广至多变量、向外连续的跳跃函数版本。
• 当 n → ∞ 时，经验中心向外分布函数的平滑与跳跃函数扩展均满足Glivenko–Cantelli性质。
• 该方法为Hallin（2018）提出的经验中心向外分布函数概念在 ℝᵈ 全空间上提供了自然的连续扩展。
• 该解法将凸函数次微分的经典结果推广至具有循环单调性约束的有限点插值设置。