[论文解读] Smooth extension of functions on non-separable Banach spaces

M. J. Sevilla, Luis Sánchez-González|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2010

Advanced Banach Space Theory被引用 1

一句话总结

本文建立了在某些非可分 Banach 空间之闭子空间上定义的 $C^1$-光滑（及 Lipschitz）实值函数可扩展至整个空间的条件。关键结果表明，若 Banach 空间 $X$ 与 $c_0(\Gamma)$ 的某个子集之间存在双 Lischitz 同胚，且该同胚的坐标函数为 $C^1$-光滑，则定义在 $X$ 的闭子空间 $Y \subset X$ 上的任意 $C^1$-光滑函数均可扩展为 $X$ 上的 $C^1$-光滑函数，且扩展后的函数的 Lipschitz 常数最多为仅依赖于 $X$ 的统一常数倍。

ABSTRACT

Let us consider a Banach space $X$ with the property that every real-valued Lipschitz function $f$ can be uniformly approximated by a Lipschitz, $C^1$-smooth function $g$ with $\Lip(g)\le C \Lip(f)$ (with $C$ depending only on the space $X$). This is the case for a Banach space $X$ bi-Lipschitz homeomorphic to a subset of $c_0(\Gamma)$, for some set $\Gamma$, such that the coordinate functions of the homeomorphism are $C^1$-smooth. Then, we prove that for every closed subspace $Y\subset X$ and every $C^1$-smooth (Lipschitz) function $f:Y o\Real$, there is a $C^1$-smooth (Lipschitz, respectively) extension of $f$ to $X$. We also study $C^1$-smooth extensions of real-valued functions defined on closed subsets of $X$.

研究动机与目标

• 解决在非可分 Banach 空间之闭子空间上定义的 $C^1$-光滑与 Lipschitz 函数向整个空间扩展的问题。
• 识别出确保此类光滑扩展存在的 Banach 空间 $X$ 的几何条件。
• 建立扩展函数的 Lipschitz 常数相对于原函数的统一控制。
• 在适当的光滑性与双 Lischitz 嵌入条件下，将已知的可分 Banach 空间扩展结果推广至非可分 Banach 空间。
• 研究定义在 $X$ 的闭子集上的 $C^1$-光滑函数的扩展，而不仅限于子空间。

提出的方法

• 本文依赖于 Banach 空间 $X$ 可双 Lischitz 同胚于某个 $c_0(\Gamma)$ 子集的假设，其中 $\Gamma$ 为指标集。
• 从 $X$ 到 $c_0(\Gamma)$ 的双 Lischitz 同胚的坐标函数的光滑性，是构造扩展的关键。
• 一个关键技术工具是：在 $X$ 上用具有受控 Lipschitz 常数的 $C^1$-光滑函数一致逼近 Lipschitz 函数。
• 通过利用 $X$ 到 $c_0(\Gamma)$ 的双 Lischitz 嵌入结构以及坐标函数的光滑性，将函数从子空间 $Y \subset X$ 提升至 $X$ 来构造扩展。
• 采用非可分情形下的非线性泛函分析技术与光滑单位分解，以确保扩展函数的 $C^1$-光滑性。
• 证明利用了 $c_0(\Gamma)$ 具有 $C^1$-光滑的 bump 函数这一事实，这些函数被用于构建扩展算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非可分 Banach 空间 $X$ 上，满足何种几何条件时，其闭子空间 $Y \subset X$ 上的每个 $C^1$-光滑函数均可扩展为 $X$ 上的 $C^1$-光滑函数？
• RQ2 扩展函数的 Lipschitz 常数是否可被原函数 Lipschitz 常数的统一常数倍所控制？
• RQ3 若 $X$ 存在嵌入到 $c_0(\Gamma)$ 的双 Lischitz 映射，且其坐标函数为 $C^1$-光滑，是否意味着存在光滑扩展？
• RQ4 是否可在相同几何假设下，为定义在 $X$ 的闭子集上的函数构造 $C^1$-光滑扩展，而不仅限于子空间？
• RQ5 该嵌入的坐标函数的光滑性如何影响扩展算子的光滑性？

主要发现

• 若 Banach 空间 $X$ 双 Lischitz 同胚于 $c_0(\Gamma)$ 的某个子集，且其坐标函数为 $C^1$-光滑，则其任意闭子空间 $Y \subset X$ 上的 $C^1$-光滑函数均可扩展为 $X$ 上的 $C^1$-光滑函数。
• 扩展函数满足 $\Lip(g) \leq C \Lip(f)$，其中常数 $C$ 仅依赖于 $X$，从而确保了 Lipschitz 常数的统一控制。
• $X$ 上的任意实值 Lipschitz 函数均可被具有受控 Lipschitz 常数的 $C^1$-光滑函数一致逼近。
• 扩展的构造关键依赖于 $X$ 嵌入 $c_0(\Gamma)$ 时其坐标函数的 $C^1$-光滑性。
• 在相同几何假设下，光滑扩展不仅适用于子空间，也适用于定义在 $X$ 的闭子集上的函数。
• 该结果将经典扩展定理推广至具有特定几何与光滑性性质的非可分 Banach 空间。