[论文解读] Smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph contains a cycle

Sergiy Maksymenko, Bohdan Feshchenko|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文研究在2-环面上的光滑Morse函数，其Kronrod-Reeb图恰好包含一个环路。证明了此类函数的轨道空间的基本群同构于一个半直积，该半直积涉及在柱面子曲面上的轨道基本群，从而将轨道的拓扑复杂度简化为更简单曲面的复杂度。关键结果通过群同构和路径空间上的诱导作用，实现了同伦理论的约化。

ABSTRACT

Let $f:M o \mathbb{R}$ be a Morse function on a connected compact surface $M$, and $\mathcal{S}(f)$ and $\mathcal{O}(f)$ be respectively the stabilizer and the orbit of $f$ with respect to the right action of the group of diffeomorphisms $\mathcal{D}(M)$. In a series of papers the first author described the homotopy types of connected components of $\mathcal{S}(f)$ and $\mathcal{O}(f)$ for the cases when $M$ is either a $2$-disk or a cylinder or $χ(M)<0$. Moreover, in two recent papers the authors considered special classes of smooth functions on $2$-torus $T^2$ and shown that the computations of $π_1\mathcal{O}(f)$ for those functions reduces to the cases of $2$-disk and cylinder. In the present paper we consider another class of Morse functions $f:T^2 o\mathbb{R}$ whose KR-graphs have exactly one cycle and prove that for every such function there exists a subsurface $Q\subset T^2$, diffeomorphic with a cylinder, such that $π_1\mathcal{O}(f)$ is expressed via the fundamental group $π_1\mathcal{O}(f|_{Q})$ of the restriction of $f$ to $Q$. This result holds for a larger class of smooth functions $f:T^2 o \mathbb{R}$ having the following property: for every critical point $z$ of $f$ the germ of $f$ at $z$ is smoothly equivalent to a homogeneous polynomial $\mathbb{R}^2 o \mathbb{R}$ without multiple factors.

研究动机与目标

• 理解在2-环面上且Kronrod-Reeb图恰好包含一个环路的光滑函数的轨道空间的同伦类型。
• 将先前在简单曲面（圆盘、柱面）上关于轨道与稳定子同伦类型的结论，扩展到具有非平凡拓扑的2-环面。
• 建立轨道空间基本群到嵌入环面中的柱面子曲面基本群的结构性约化。
• 通过群作用和路径空间上的诱导同构，刻画轨道空间的基本群。

提出的方法

• 作者识别出一个子曲面 $ Q \subset T^2 $，微分同胚于柱面，使得 $ f|_Q $ 捕获了 $ f $ 在环面上的关键拓扑数据。
• 他们构造了在 $ Q $ 的微分同胚群的路径空间上的 $ \mathbb{Z}_n $-作用，利用一个有限阶微分同胚 $ g $，该微分同胚置换 $ Q $ 的分量。
• 通过 $ g $ 的作用，他们利用路径空间上的诱导映射，在轨道空间的基本群上定义了半直积结构。
• 他们定义了一个群同构 $ \eta $，从映射 $ \mathbb{Z}_n \to \pi_1(\mathcal{D}^Q, \mathcal{S}^Q) $ 的空间到 $ \pi_1(\mathcal{D}^{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}, \mathcal{S}_{\mathcal{C}}) $，将轨道的拓扑与柱面子曲面联系起来。
• 他们定义了一个映射 $ \xi $，从半积 $ \pi_1(\mathcal{D}^Q, \mathcal{S}^Q) \mathop{\wr}\limits_{\mathbb{Z}_n} \mathbb{Z} $ 到 $ \pi_1(\mathcal{D}^{\mathrm{id}}, \mathcal{S}) $，并利用五引理证明其为同构。
• 他们验证了包含正合序列的图表的交换性，并利用此性质证明 $ \xi $ 是同构，从而完全计算出轨道空间的基本群。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Morse函数在2-环面上的Kronrod-Reeb图恰好包含一个环路时，其轨道空间的基本群如何分解？
• RQ2 在KR图中存在单个环路的情况下，轨道空间的同伦类型能否约化为更简单曲面（如柱面）的同伦类型？
• RQ3 有限阶微分同胚的群作用在环面轨道拓扑与子曲面轨道拓扑之间起到何种作用？
• RQ4 2-环面上的轨道空间基本群如何通过诱导同构与柱面子曲面的轨道基本群相关联？
• RQ5 此类函数的 $ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ 的代数结构是什么？其在半积构造中如何编码？

主要发现

• 对于任意满足Kronrod-Reeb图恰好包含一个环路的Morse函数 $ f: T^2 \to \mathbb{R} $，存在一个子曲面 $ Q \subset T^2 $，微分同胚于柱面，使得 $ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ 同构于 $ f|_Q $ 的轨道基本群。
• 基本群 $ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ 同构于半积 $ \pi_1(\mathcal{D}^Q, \mathcal{S}^Q) \mathop{\wr}\limits_{\mathbb{Z}_n} \mathbb{Z} $，其中 $ n $ 为环路中分量的数量。
• 映射 $ \xi: \pi_1(\mathcal{D}^Q, \mathcal{S}^Q) \mathop{\wr}\limits_{\mathbb{Z}_n} \mathbb{Z} \to \pi_1(\mathcal{D}^{\mathrm{id}}, \mathcal{S}) $ 是同构，从而完整地描述了轨道基本群的代数结构。
• 同构 $ \xi $ 通过路径空间上的诱导映射构造，并利用阶为 $ n $ 的微分同胚 $ g $ 在柱面子曲面上的作用验证其为群同态。
• 包含正合序列的图表是交换的，且由五引理可知同构 $ \xi $ 成立，从而完成拓扑约化。
• 该结果适用于 $ T^2 $ 上一大类光滑函数，其在临界点处的芽在微分同胚下等价于无重因式齐次多项式，不仅限于Morse函数。