[论文解读] Smooth perfectness through decomposition of diffeomorphisms into fiber preserving ones

Stefan Haller, Josef Teichmann|ArXiv.org|Oct 3, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用 7

一句话总结

该论文证明，在具有多个纤维丛结构且其垂直分布张成切丛的闭光滑流形上，任何足够接近恒等映射的微分同胚均可被光滑地分解为保持纤维的微分同胚的乘积。利用该分解及 tame 反函数定理，作者证明了微分同胚群是光滑完备的，并给出了表达此类微分同胚所需换位子数目的显式上界。

ABSTRACT

We show that on a closed smooth manifold $M$ equipped with $k$ fiber bundle structures whose vertical distributions span the tangent bundle, every smooth diffeomorphism $f$ of $M$ sufficiently close to the identity can be written as a product $f=f_1... f_k$, where $f_i$ preserves the $i^{ ext{th}}$-fiber. The factors $f_i$ can be chosen smoothly in $f$. We apply this result to show that on a certain class of closed smooth manifolds every diffeomorphism sufficiently close to the identity can be written as product of commutators and the factors can be chosen smoothly. Furthermore we get concrete estimates on how many commutators are necessary.

研究动机与目标

• 通过纤维丛分解建立紧致流形上微分同胚群的光滑完备性。
• 给出表达接近恒等映射的微分同胚所需换位子数目的显式、定量上界。
• 证明微分同胚对纤维保持映射的分解可在微分同胚中实现光滑化。
• 将已知的完备性结果推广至包括奇维球面和紧致李群在内的广泛流形类。
• 在 tame Fréchet 空间范畴中应用 Nash–Moser 反函数定理，以实现分解与换位子分解的光滑性。

提出的方法

• 在 tame Fréchet 空间范畴中应用 Nash–Moser 反函数定理，以处理微分同胚群的无穷维性质。
• 应用 tame 估计与 tame 同构，以确保分解过程中所需映射的光滑性与可逆性。
• 采用一种分解定理，将小的微分同胚表示为保持各个纤维丛结构的微分同胚的乘积。
• 利用保持纤维的微分同胚构成李子群，其李代数为垂直分布的截面这一事实。
• 通过指数映射与截断函数实现参数化技术，以构造微分同胚的局部因子分解。
• 将分解结果与规范群及纤维化自同构群的完备性结果相结合，推导出完整微分同胚群的全局完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在闭流形上，若多个纤维丛结构的垂直分布张成切丛，则每个足够接近恒等映射的微分同胚是否可表示为保持纤维的微分同胚的乘积？
• RQ2 该分解是否可在微分同胚中实现光滑化？
• RQ3 每个此类微分同胚是否可表示为换位子的乘积？若可，需要多少个？
• RQ4 能否为表示接近恒等映射的微分同胚所需换位子数导出显式上界？
• RQ5 哪些流形类（如奇维球面或紧致李群）可实现此类光滑完备性结果？

主要发现

• 在具有 $k$ 个纤维丛结构且其垂直分布张成 $TM$ 的闭流形 $M$ 上，每个足够接近恒等映射的微分同胚 $f$ 均可实现光滑分解 $f = f_1 \times \times f_k$，其中每个 $f_i$ 保持第 $i$ 个纤维丛结构。
• 分解因子 $f_i$ 对 $f$ 光滑依赖，确保结果在光滑参数空间中成立。
• 若所有纤维结构群 $\operatorname{Diff}(S_i)$ 均为光滑完备，则微分同胚群 $\operatorname{Diff}(M)$ 是光滑完备的。
• 对于奇维球面 $S^{2n+1}$，Hopf 纤维丛提供了纤维丛结构，本文证明 $N_{\operatorname{Diff}(S^{3})} \leq 18$，给出了换位子数目的具体上界。
• 对于紧致李群 $G$，存在 $\dim G$ 个 $S^1$-纤维丛结构，其垂直分布张成 $TG$，由此导出上界 $N_{\operatorname{Diff}(G)} \leq 3(\dim G)^2$。
• 该结果可推广至规范群及具有纤维化结构（如度量、辛形式）的向量丛的自同构群，表明它们均为光滑完备群，并给出显式换位子上界。